Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (4/13) · 9:24

Úlohy na podobnost trojúhelníků Pojďme si vyzkoušet pravidla odvozená v předchozím videu na konkrétních trojúhelnících.

V tomto videu chci zjistit, jestli zvládneme najít podobné trojúhelníky a dokázat, že jsou skutečně podobné pomocí pravidel, která jsme si již zavedli. Tady mám trojúhelník BDC, který je uvnitř trojúhelníku AEC. Oba mají společný tento úhel. Takže známe jeden úhel, ale potřebujeme dva, abychom dokázali podobnost. Víme, že tyto dvě úsečky jsou rovnoběžné, a víme, že když jsou rovnoběžné, tak odpovídající úhly u společné přilehlé strany budou shodné. Tento úhel bude shodný s tímto úhlem. A máme hotovo. Máme jeden úhel trojúhelníku AEC, který je shodný s dalším úhlem trojúhelníku BDC, a pak máme tenhle úhel, který je samozřejmě shodný sám se sebou, poněvadž je součástí obou trojúhelníků. Oba trojúhelníky mají pár odpovídajících úhlů, které jsou shodné, takže musí být podobné. Takže můžeme napsat, že trojúhelník ACE bude podobný s trojúhelníkem… Musíme napsat písmena ve správném pořadí. Takže tady u modrého úhlu je vrchol B, tady u bílého úhlu je vrchol C, a poté k tomu neoznačenému úhlu. Je podobný s trojúhelníkem BCD. Máme za sebou první příklad, teď pojďme na tento. Je to docela podobné, ale alespoň to na první pohled vypadá, že strana YZ rozhodně nebude rovnoběžná s ST. Nelze použít argument s odpovídajícími stranami jako u minulého příkladu. Zvlášť když jsem to ani neoznačil jako rovnoběžku. Vy se nechcete dívat na věci jen tak, jak vypadají na první pohled, vy určitě chcete vědět, co je a není zadáno. Nejsou označené jako rovnoběžky, tak bychom ten argument nemohli říct. I když vypadají rovnoběžně… Máme tu ale tenhle úhel, který má vnitřní i vnější trojúhelník společný. Pak máme zadáno několik stran. Možná bychom mohli použít větu sus (strana-úhel-strana). To znamená, že když vyjádříme poměr stran na každé straně tohoto úhlu a poměr stran menšího trojúhelníku bude stejný poměr stran většího trojúhelníku, pak můžeme dokázat podobnost. Pojďme na to. Musíme se na trojúhelník podívat z obou stran. Pojďme se podívat na kratší strany na obou stranách daného úhlu. Kratší strana menšího trojúhelníku má délku 2. Teď se pojďme podívat na kratší stranu většího trojúhelníku z druhé strany, Kratší strana většího trojúhelníku je po naší pravici a bude to strana XT. Chceme porovnat poměr. Chceme zjistit, jestli XY lomeno XT se rovná poměru delších stran, z pohledu našeho úhlu poměru delších z těchto stran. Nejdelší strany menšího trojúhelníku, i když to tak taky vypadá. Jestli se rovná poměru XZ lomeno delší z těchto dvou stran, když se díváte na tento úhel, tak delší ze stran, které jsou k danému úhlu přilehlé. Což je ve větším trojúhelníku strana XS, takže XZ/XS. Je to trochu matoucí, protože vlastně prohazujeme strany, ale já mám na mysli pouze kratší strany na obou stranách tohoto úhlu a delší strany na obou stranách tohoto trojúhelníku. Tohle jsou kratší strany menšího trojúhelníku a delšího trojúhelníku. Tohle jsou delší strany kratšího trojúhelníku a delšího trojúhelníku. A vidíme, že XY je 2. XT je 3 plus 1, což se rovná 4, XZ je 3 a XS je 6. Takže máte 2/4, což je to samé jako 3/6. Takže poměr kratších stran obou trojúhelníků na každé straně úhlu a delších stran obou úhlu na každé straně daného úhlu je stejné, Takže podle věty sus víme, že tyto dva trojúhelníky si jsou podobné. Ale musíme být opatrní, jak to zapíšeme. Musíme si být jisti, že píšeme správně odpovídající strany. Mohli bychom říct, že trojúhelník… A už mi dochází místo. Napíšu to sem nahoru. Můžeme napsat, že trojúhelník XYZ je podobný trojúhelníku… Začali jsme s X, což je vrchol u úhlu, a pak jsme pokračovali kratší stranou, teď také musíme začít u X a pokračovat kratší stranou většího trojúhelníku. Takže X, pak jdeme k T a S, XTS. XYZ je podobný s XTS. Teď se pojďme podívat na tenhle obrázek. Ve větším trojúhelníku se nachází pravý úhel, ale ve skutečnosti o úhlech těchto podobných trojúhelníků nic nevíme. Toto vypadá jako pravý úhel, ale nemůžeme to předpokládat. A když se podíváme na tenhle menší trojúhelník, tak sdílí jednu stranu s větším trojúhelníkem. To nám nestačí. Tenhle trojúhelník též sdílí stranu, ale to situaci nemění. Takže vůbec nemůžeme rozvinout žádný argument o podobnostech. Tyto trojúhelníky nejsou podobné. Kdyby nám zadali… A tady nějaké společné úhly jsou. Trojúhelníky sdílí tento úhel, jak větší, tak menší trojúhelník, takže bychom mohli o podobnosti uvažovat, ale jen kdybychom věděli, že tento úhel je pravý. Potom bychom byli schopni rozvinout úvahu o podobnosti. Ale to momentálně nemůžeme udělat, nemůžeme udělat nic. Pojďme zkusit vyřešit tento příklad. To je poprvé, kdy máme trojúhelníky úplně oddělené od sebe. Zadali nám tři strany obou trojúhelníků, takže pojďme zjistit, jestli se poměry odpovídajících stran rovnají. Začněme s kratšími stranami. Ta kratší strana má délku 3, tato kratší strana má délku 9 krát odmocnina ze 3. Poměr se rovná 3/(9 krát odmocnina ze 3) poměru delší strany toho trojúhelníku, což je 3 krát odmocnina ze 3 lomeno delší stranou tohoto trojúhelníku, což je 27. A bude se to rovnat poměru nejdelších stran. Tady má nejdelší strana délku 6, tady je nejdelší strana 18 krát odmocnina ze 3. Takže nám to dá… Pojďme se podívat. Tohle je 3. Nakreslím to nějakou neutrální barvou. Tento zlomek zkrátíme na 1/(3 krát odmocnina ze 3). Tento zlomek zkrátíme na (1 krát odmocnina ze 3)/9, což vypadá jako úplně jiné číslo, ale ještě to nezavrhujme. A tento zlomek zkrátíme. Vydělíme čitatele i jmenovatele číslem 6 a zkrátíme to na 1 a (3 krát odmocnina ze 3). A dostaneme 1/(3 krát odmocnina ze 3), což se musí rovnat (1 krát odmocnina ze 3)/9, což se musí rovnat 1/(3 krát odmocnina ze 3). Na první pohled se to nerovná, ale my ty zlomky můžeme roznásobit. Vynásobíme 1/(3 krát odmocnina ze 3) krát (odmocnina ze 3 děleno odmocnina ze 3), tak dostaneme (odmocnina ze 3)/9, protože 3 krát 3 je 9. Ve skutečnosti jsou tyto zlomky všechny stejné. Tenhle je 1/(3 krát odmocnina ze 3), to je samé jako (1 krát odmocnina ze 3)/9, což je to samé jako 1/(3 krát odmocnina ze 3), takže tyto trojúhelníky jsou podobné. Takže to napíšeme a já si dám pozor, abych to napsal ve správném pořadí. Začneme s E, které je mezi modrou a fialovou stranou malého trojúhelníku, a mezi modrou a fialovou stranou většího trojúhelníku je vrchol H, přímo tady. Takže trojúhelník E… Napíšu to takhle. Trojúhelník E… Potom se posunu po modré straně k F, tady přejdu po modré straně k… Vlastně to spíš napíšu takhle. Víme, že trojúhelník EFG je podobný s trojúhelníkem… E je mezi modrou a fialovou stranou malého trojúhelníku, mezi modrou a fialovou stranou velkého trojúhelníku je H. Poté se přesuneme po modré straně malého trojúhelníku k F a po modré straně velkého trojúhelníku k I. Poté se posuneme po oranžové straně malého trojúhelníku ke G a po oranžové straně velkého trojúhelníku k J. Takže trojúhelník EFG je podobný trojúhelníku HIJ, podle věty sss o podobnosti trojúhelníků. Nejsou to shodné strany, jen mají stejný poměr. Teď pojďme na poslední příklad. Máme zadán úhel, který je shodný s dalším úhlem a známe dvě strany, takže by nás to mohlo lákat použít větu sus, protože nám zadali stranu, stranu a úhel. Dokonce i poměr stran vypadá lákavě, protože 4 krát 2 je 8, 5 krát 2 je 10, ale záludné na tom je, že se nejedná o odpovídající strany. Abychom mohli použít větu sus, tak ty dvě strany v poměru by musely být odpovídající. Musí to být strany na obou stranách tohoto úhlu. Zde to nejsou strany na obou stranách úhlu, v tomto případě je 4 na jedné straně úhlu, ale 5 není. Kdyby 5 bylo tady, tak bychom mohli rozvinout argument o podobnosti, ale vzhledem k tomu, že 5 není na té druhé straně úhlu, tak spolu se stranou 4 daný úhel nesvírá. Nemůžeme tedy použít větu sus a upřímně není nic, co bychom mohli v tomto případě udělat. V tomto posledním případě tedy nemůžeme rozvinout žádný argument o podobnosti.
video