Podobnost trojúhelníků
Přihlásit se
Podobnost trojúhelníků (3/13) · 12:14

Pravidla pro podobnost trojúhelníků Jaké informace budeme porovnávat, pokud chceme zjistit, zda si jsou dva trojúhelníky podobné?

Řekněme, že máme trojúhelník ABC, který vypadá nějak takto. Chci přemýšlet o co nejmenším množství informací, chci dát dohromady několik pravidel, pomocí kterých budeme moci rozhodnout, zda je jiný trojúhelník podobný trojúhelníku ABC. Víme, že pokud všechny tři úhly jsou shodné s odpovídajícími úhly trojúhelníku ABC, tak tu máme podobné trojúhelníky. Například pokud tohle je 30°, tenhle úhel je 90° a ten úhel tady je 60°. A máme další trojúhelník, který vypadá takhle, je jasně menší, ale jeho příslušné úhly… Tenhle má 30°, tenhle má 90° a tenhle má 60°. Víme, že trojúhelník XYZ bude podobný trojúhelníku ABC. Víme to, protože vzájemně si odpovídající úhly jsou shodné. Proto je trojúhelník ABC podobný trojúhelníku XYZ. Musíte mít správné pořadí, abyste věděli, že porovnáváte odpovídající úhly. Y odpovídá 90°, X odpovídá 30°, A odpovídá 30° úhlu takže A a X je první dvojice. B a Y, které mají 90°, jsou další a Z je poslední. Takže to už víme, když máme tři úhly. Ale potřebujeme tři úhly? Kdybychom znali dva úhly, tak bylo by to dost? Samozřejmě, protože, když znáte dva úhly v trojúhelníku, tak znáte i ten třetí. Např. když budu mít jiný trojúhelník, který vypadá takto, nakreslím ho takto, a kdybych vám pouze řekl, že dva odpovídající úhly jsou shodné. Takže třeba tenhle úhel tady je shodný s tímto a tento úhel je shodný s tamtím. Je to dost na to, abyste mohli říct, že ty dva trojúhelníky jsou podobné? Jistě, protože v trojúhelníku, pokud znáte dva z jeho úhlů, tak víte, jak velký musí být jeho poslední úhel. Vím, že tohle je 30° a tohle je 90°, tedy vím, že tenhle úhel musí být 60 stupňů. Vezměte velikost těchto dvou úhlů a odečtěte od 180° a to je ten třetí úhel. Takže k tomu, abyste ukázali podobnost, nemusíte ukázat, že tři odpovídající úhly jsou shodné. Ve skutečnosti stačí ukázat dva. Takže tohle je naše první pravidlo pro podobnost trojúhelníků. Nazveme ho ÚÚ, úhel-úhel. Pokud víte, že dva odpovídající úhly jsou shodné, pak jsou to podobné trojúhelníky. Zkusme to s nějakými čísly, kdybyste ukázali, že tohle bylo 30° a věděli bychom, že v tomto trojúhelníku tohle je 90°, tak potom můžeme prohlásit, že tento trojúhelník je podobný tomuhle tady. A můžete klidně rovnou přejít ke třetímu úhlu a jednoduše říci, že třetí úhel má 60°, takže všechny odpovídající úhly jsou stejné. To je jedna možnost, jak ukázat podobnost. Další věc, kterou víme o podobnosti je to, že poměry délek odpovídajících stran budou stejné. Např. když budeme mít další trojúhelník… Nakreslím další trojúhelník, nazvu ho XYZ. Řekněme, že víme, že poměr mezi AB a XY… Víme, že AB děleno XY, tedy poměr délky této strany a této strany… Neříkáme, že jsou shodné, pouze říkáme, že jejich poměr… Zajímá nás nyní poměr. Říkáme, že AB lomeno XY se rovná BC lomeno YZ. To je rovno BC lomeno YZ a to se rovná AC lomeno XZ. Ještě jednou: tohle je další způsob, jak zjistit, zda jsou trojúhelníky podobné. Když máte všechny tři odpovídající si strany a jejich poměry jsou stejné, tak pak víme, že se jedná o podobné trojúhelníky. A tomu říkáme podobnost SSS, strana-strana-strana. Ale nepleťte si to se shodností SSS. Tak tohle jsou všechna pravidla podobnosti. Pravidla podobnosti, věci, které budeme předpokládat, že platí. Z nich budeme odvozovat řešení problémů a dokazovat další tvrzení. SSS, mluvíme-li o shodnosti, znamená, že odpovídající strany jsou shodné. SSS podobnost, říká, že poměr délek odpovídajících stran je stejný. Např. když tady je 10… Ne, vezmu větší číslo. Řekněme 60, tohle tady je 30 a tohle tady je 30 krát odmocnina ze 3. Vymyslel jsem tyhle čísla tak, aby to vycházelo. Brzy se naučíme, jaké jsou typické poměry stran trojúhelníků s úhly 30, 60, 90. A dejme tomu, že tenhle tady má strany 6, 3 a 3 odmocniny ze 3. AB lomeno XY, (30 odmocnin ze 3) děleno (3 odmocniny ze 3) je 10. Kolik bude BC lomeno YZ? 30 děleno 3 je 10. A kolik je 60 děleno 6? Tedy AC lomeno XZ. To bude 10. Ze strany získáme odpovídající stranu vynásobením každé strany 10. Neříkáme, že jsou shodné. V téhle podobnosti SSS neříkáme, že strany jsou stejné, říkáme, že je v podstatě zvětšujeme stejněkrát. Nebo o tom můžeme přemýšlet tak, že poměry délek odpovídajících stran jsou stejné. Tak co kdybychom měli… Začněme s jiným trojúhelníkem třeba tady. Nakreslím ho takhle. Raději to tady nechám, abychom tu měli seznam. Takže nakreslím další trojúhelník ABC. Nakreslím další trojúhelník ABC, tohle je A, B a C a řekněme, že víme, že tahle strana, když půjdeme k dalšímu trojúhelníku… Víme, že XY… XY je AB krát nějaká konstanta, takže to napíšu sem, XY se rovná nějaká konstanta krát AB. Raději udělám XY větší, protože to nemusí být… Ta konstanta může být menší než 1 a v tom případě by byl menší, ale já to radši udělám takhle, udělám XY trochu větší. Řekněme, že tohle je X a tohle Y a řekněme, že víme, že XY lomeno AB se rovná nějaké konstantě. Neboli když obě strany vynásobíme AB, tak dostaneme XY jako zvětšeninu AB. Takže třeba AB je 5, XY je 10, potom naše konstanta bude 2. Zvětšili jsme to na dvojnásobek. A řekněme, že také víme, že úhel ABC je shodný s XYZ a tady nakreslím ještě jeden bod. Ještě jednu stranu tady, takže tohle je Z. Takže řekněme, že víme, že úhel ABC je shodný s XYZ. A také řekněme, že víme, že poměr mezi BC a YZ je ta naše konstanta. Poměr mezi BC a YZ je roven stejné konstantě. Takže v příkladu, kde tohle je 5 a 10, by tohle mohlo být 3 a 6. Takže v podstatě zdvojnásobujeme délku strany. Bude tedy tento trojúhelník XYZ podobný? Když se nad tím zamyslíte, tak pokud XY je ve stejném poměru k AB, tak jako YZ je k BC a tenhle úhel mezi nimi je shodný, tak potom tady je jenom jediný možný trojúhelník. Takže jsme omezeni na jediný možný trojúhelník, takže z toho vychází jediná možná délka této strany. Délka této strany musí být stejně zvětšená jako ty tady. A tomu říkáme podobnost SÚS, strana-úhel-strana. Ještě jednou: viděli jsme SSS a SÚS v pravidlech shodnosti, ale tady říkáme něco úplně jiného. Říkáme, že v SÚS, pokud poměr délek odpovídajících stran a dalších… Pokud poměry délek odpovídajících stran dvou trojúhelníků jsou stejné. Takže poměr mezi AB a XY, a u dalších odpovídajících stran, to je poměr mezi BC a YZ jsou stejné. A úhly mezi nimi jsou shodné potom tvrdíme, že trojúhelníky jsou podobné. V případě SÚS pro shodnost jsme tvrdili, že strany musely být shodné. Tady stačí, že poměry odpovídajících stran jsou stejné. Například SÚS, abychom to aplikovali, tak ukážu tady nějaké příklady. Řekněme, že mám trojúhelník 3, 2, 4. A tady jiný trojúhelník a ten má strany dlouhé 9,6. A také víme, že úhly mezi nimi jsou shodné. Takže tento úhel je roven tomuhle. Takže SÚS o podobnosti nám říká, že tyto trojúhelníky budou určitě podobné. To z toho vyplývá, protože existuje právě jeden trojúhelník, který se dá nakreslit právě zde. Je to ten trojúhelník, jehož všechny strany budou stejně zvětšené, takže sem můžeme nakreslit pouze jedinou dlouhou stranu a i ta bude zvětšená trojnásobně. To je jediný možný trojúhelník. Když uděláme tuto stranu, řekneme, podívejte, to je trojnásobek této strany. Tohle je trojnásobek tamté strany a úhel mezi nimi je shodný. Je jen jediný trojúhelník, který můžeme vytvořit a víme, že existuje jeden podobný trojúhelník, kde je všechno zvětšené trojnásobně, takže to musí být ten náš podobný trojúhelník. To mluvíme o SÚS. Neříkáme, že tamta strana je shodná s tamtou nebo tahle s touto. Říkáme, že jsou zvětšené stejným násobkem. Kdybychom měli jiný trojúhelník, který by vypadal takhle, třeba tohle je 9, tohle je 4 a úhel mezi nimi by byl shodný. Nemohli bychom říci, že jsou podobné, protože ta strana je zvětšená trojnásobně, ale tahle strana je zvětšená jenom dvojnásobně. Takže tady byste nemohli říct, že jsou nutně podobné. Podobně kdybyste měli trojúhelník, který by měl tady délku strany 9 a tady délku 6, ale nevěděli byste, jestli tyto dva úhly jsou stejné. Opět to není dostatečně omezující abychom věděli, že ty dva trojúhelníky jsou nutně podobné. Protože nevíte, jestli ten prostřední úhel je stejný. Možná namítnete, že jsme ještě měli jiná pravidla. Měli jsme ÚÚS, když jsme se zabývali shodností. Ale když se zamyslíte, tak jsme ukázali, že samotné dva úhly jsou dost na to, abychom dokázali podobnost. Proč bychom se trápili s něčím jako úhel, úhel a navíc strana, nebo poměr stran. Tím se nemusíme zabývat. Také jsme ve shodnosti měli ÚSÚ, ale opakuji: už víme, že dva úhly stačí, takže nemusíme přihazovat ještě navíc stranu. To tady nepotřebujeme. Takže tohle jsou naše pravidla podobnosti, ale pozor: strana-strana-strana podobnost je jiná než strana-strana-strana shodnost. Tady mluvíme o poměru odpovídajících stran, neříkáme, že jsou shodné, také strana-úhel-strana je něco jiného než strana-úhel-strana pro shodnost. Je to trochu podobné, ale tady mluvíme o poměru stran, nikoli o jejich rovnosti.
video