Integrální počet
Přihlásit se
Integrální počet (4/6) · 3:50

Integrál ln x

Cílem tohoto videa je vypočítat integrál přirozeného logaritmu z ‚x‘. Způsob, jak k tomu přistoupit, není ze začátku úplně zřejmý. I kdybych vám řekl, abyste použili metodu per partes, hledali byste něco, co vypadá jako součin dvou funkcí, ale tady to vypadá, jako bych měl pouze jednu funkci - přirozený logaritmus ‚x‘. Mohlo by to ale být mnohem jasnější, kdybych to napsal jako integrál z přirozeného logaritmu ‚x‘ krát 1 dx. Teď máte produkt dvou funkcí… 1 je funkce. Funkce proměnné ‚x‘. Není sice závislá na ‚x‘, bude to pořád 1, ale mohli byste mít funkci, kde se f(x) se rovná 1. Nyní je použití metody per partes mnohem jasnější. Per partes nám říká, že když máme integrál, na který se lze dívat jako na produkt jedné funkce krát derivace druhé funkce. Tohle ve skutečnosti není nic jiného než opak pravidla pro derivaci součinu, který jsme si už mnohokrát ukazovali. Tohle bude rovno produktu obou funkcí, f(x) krát g(x) minus integrál z... místo ‚f‘ a derivace ‚g‘ budete mít derivaci ‚f‘ a ‚g‘. Takže derivace f(x) krát g(x) dx. A tohle jsme viděli už několikrát. Když chcete přijít na to, co by mělo být ‚f‘ a co by mělo být ‚g‘ nebo ‚f‘, musíte zjistit, co se snadno derivuje a zároveň se derivací zjednoduší. A pro derivaci ‚g‘ chcete najít něco, co se snadno integruje. Dobrým kandidátem na ‚f‘ je tedy přirozený logaritmus ‚x‘. Jeho derivace je jednoduše 1/x. Raději to napíšu. Takže pokud ‚f‘ je rovno přirozenému logaritmu z ‚x‘. Takže derivace ‚f‘ bude rovna 1/x. A řekněme, že derivace ‚g‘ se rovná 1. Derivace ‚g‘ se rovná 1. To znamená, že ‚g‘ by se mohlo rovnat ‚x‘. A teď se vraťme sem. Tohle tedy bude rovno f(x) krát g(x). f(x) krát g(x) je x krát přirozený logaritmus x. g(x) je x a f(x) je přirozený logaritmus x. Raději píšu ‚x‘ před logaritmus ‚x‘, abych předešel nejasnostem. Tohle je tedy x krát logaritmus x minus integrál z derivace ‚f‘, což je 1/x, krát g(x), což je x, dx. Čemu se bude rovnat tohle? Uvnitř integrálu máme jednoduše 1/x krát x, což je 1. Takže se to celé pěkně zjednoduší. Nakonec se to bude rovnat… možná bych měl… napíšu to sem… Nakonec se to bude rovnat x krát logaritmus x minus integrál jen z dx nebo integrál z 1 dx… měl bych říct integrál z 1, což je jen x. To je ale jen jeden z možných integrálů. Pokud chceme obecnější výsledek, musíme sem přidat plus ‚C‘. A jsme hotoví. Našli jsme integrál z přirozeného logaritmu x. Doporučuji vám, aby jste si to zkusili zderivovat. V tomto případě použijete pravidlo pro derivaci součinu. A potvrďte, že skutečně dostanete přirozený logaritmus x, pokud toto zderivujete.
video