Moderní šifrování
Přihlásit se
Moderní šifrování (1/9) · 3:52

Základní věta aritmetiky Co je to prvočíselný rozklad? Existuje pro každé přirozené číslo pouze jeden rozklad nebo je jich více?

Navazuje na Počátky šifrování.
Představte si, že žijeme v pravěku. A teď přemýšlejte o následujícím: Jak se zaznamenával čas bez hodin? Všechny hodiny jsou založeny na opakujícím se jevu, který dělí čas na stejné části. Abychom tyto jevy našli, díváme se na nebe. Východu a západu Slunce si všimneme hned. Abychom však dokázali pracovat s delšími obdobími, potřebujeme delší cykly. Proto se díváme na Měsíc, který během několika dnů postupně roste a pak zase ubývá. Když spočítáme dny mezi úplňky, dostaneme se na číslo 29. Proto rok dělíme i na měsíce. Pokud ale chceme rozdělit číslo 29 na stejné části, tak narazíme na problém. Je to nemožné. 29 se dá rozdělit pouze jedním způsobem, na 29 stejných částí. 29 je prvočíslo. Můžeme o něm přemýšlet jako o čísle nerozbitném. Pokud se dá číslo rozdělit na stejné části větší než 1, tak ho nazýváme číslem složeným. Pokud jsme zvědaví, tak nás možná napadne otázka: Kolik prvočísel existuje? A jak velké mohou být? Nejdříve rozdělíme čísla na 2 skupiny. Prvočísla dáme nalevo a složená čísla napravo. Ze začátku se zdá, že čísla přeskakují sem a tam. Není tam žádný vzor. Tak použijme moderní techniku a podíváme se na to z jiné perspektivy. Pomůže nám Ulamova spirála. Nejdříve seřadíme všechna čísla podle velikosti do spirály. Pak označíme prvočísla modrou. Nakonec se podíváme na miliony čísel. Zde vidíme vzorec prvočísel, který pokračuje donekonečna. Je neuvěřitelné, že celková struktura tohoto obrazce je dodnes nevyřešena. Na něco jsme narazili. Nyní se přesuneme do starodávného Řecka, zhruba do roku 300 p. n. l. Filozof známý jako Eukleidés z Alexandrie pochopil, že všechna čísla mohou být rozdělena do dvou oddělených kategorií. Začal si uvědomovat, že jakékoli číslo může být děleno znovu a znovu, dokud se nedostaneme ke skupině nejmenších stejných čísel. A tato nejmenší čísla jsou podle definice vždy prvočísla. Takže věděl, že všechna čísla jsou poskládaná z menších prvočísel. Představte si vesmír všech čísel a ignorujte prvočísla. Nyní si vyberte složené číslo a rozložte jej. Vždy vám zůstanou prvočísla. Eukleidés tedy věděl, že každé číslo se dá vyjádřit pomocí menších prvočísel. Prvočísla jsou jako stavební kostky. Je jedno, jaké číslo si vyberete, vždy se dá poskládat z menších prvočísel. Toto je základ objevu známého jako Základní věta aritmetiky. Postup je následující: Vezmeme například číslo 30 a najdeme všechna prvočísla, do kterých lze číslo rovnoměrně rozdělit. Tomu se říká prvočíselný rozklad (faktorizace). Ukáže nám to prvočíselné dělitele. V tomto případě jsou 2, 3 a 5 prvočíselnými děliteli 30. Eukleidés si uvědomil, že pokud určité mocniny těchto prvočísel vzájemně vynásobíme, tak sestaví původní číslo. Aby vzniklo číslo 30, tak stačí umocnit každý dělitel jednou. 2 krát 3 krát 5 je prvočíselný rozklad 30. Představte si to jako speciální klíč nebo kombinaci. Neexistuje totiž jiný způsob jak poskládat 30 násobením jiné skupiny prvočísel. Takže každé číslo má jeden a pouze jeden prvočíselný rozklad. Každé číslo si můžeme představit jako jiný zámek. Jedinečným klíčem pro tento zámek by byl jeho prvočíselný rozklad. Neexistují dva zámky se shodným klíčem. Žádná 2 čísla nemají stejný prvočíselný rozklad.
video