Hlavní obsah
Kurz: Posloupnosti a konečné řady > Kapitola 2
Lekce 3: Součet konečných aritmetických řadÚvod do aritmetických řad
Ukážeme si, jak vypadá součet jedné konkrétní konečné aritmetické řady. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Vezměme si tu nejjednodušší z aritmetických posloupností a nejspíš nejjednodušší
posloupnost vůbec, 1, 2.... Začneme s číslem 1 a postupně zvyšujme o 1, 2, 3 a budeme takto postupovat až k „n". Chci se zamyslet nad tím, čemu se tato suma bude rovnat. Součet posloupnosti, jak už víme, se nazývá řada. Takže čemu se rovná suma, a já ji nazvu „Sn", čemu se rovná toto 1 plus 2 plus 3 a tak dále až k „n"? Zde uděláme malý elegantní trik, kdy přepíšu tento součet který opět označím jako Sn, ale tentokrát budu psát v opačném pořadí. Napíšu „n" plus („n"minus 1) plus („n" minus 2) až k číslu 1. Nyní sečtu tyto dvě rovnice. Vím, že Sn se rovná tomuto, takže přičítáme stejné věci
na obou stranách rovnice. Takže na levé straně
máme Sn plus Sn, což je 2 krát Sn, a na pravé straně, zde se nám objevuje
něco zajímavého, máme 1 plus „n" což je zkrátka „n" plus 1. Dále 2 plus „n" minus 1, což se rovná 2 plus „n" minus 1, tedy opět „n" plus 1, plus „n" plus 1. Nyní 3 plus „n" minus 2. A to bude zase „n" plus 1. Myslím že už vidíte, co se tu děje. A půjde to tak celou dobu až
k poslední dvojici. Nejspíš můžeme rovnou říci,
že poslední dva výrazy budou „n" plus 1
ještě jednou „n" plus 1. Takže kolikrát tu máme to „n" plus 1? No máme jich „n". Bylo tu „n" sčítanců v každé z rovnic. 1, 2, 3 až do „n". Čili to celé můžeme
přepsat jako 2 krát Sn je rovno, zde máme „n" krát („n" plus 1), takže to můžeme rozepsat
jako „n" krát („n"plus 1), „n" krát („n" plus 1) a nyní abychom vyřešili,
čemu se rovná Sn, naše suma, vydělíme obě strany dvěma. Tak nám zbude suma od 1 do „n" této aritmetické posloupnosti,
která se pořád zvyšuje o 1, začíná číslem 1 a rovná se
„n" krát („n" plus 1) děleno 2. A toto je hezké, protože nyní
lze snadno najít součet, například od 1 do 100, což bude 100 krát 101 děleno 2. Tento součet určíme velmi rychle. Jsem zvědavý na to, co budeme
objevovat v následujícím videu, zda-li je možné takové
zjednodušení pro každou sumu. Začali jsme s velmi jednoduchou, nejprve 1, pak zvyšování o 1, A nyní máme... Pokud to napíšu takto, „n" krát („n" plus 1) děleno 2. Takže toto „n", to je n-tý výraz v naší posloupnosti, a tato část, ta jednička, je prvním výrazem naší posloupnosti. V tomto případě to vypadá,
jako když bereme průměr prvního a n-tého výrazu. Tedy tohleto je ten průměr. Tento výraz je průměr čísla 1 a „n". A následně to vynásobíme n-krát. Zajímá nás, jestli toto bude
platit pro všechny aritmetické posloupnosti, zda jejich suma bude
průměr prvního a posledního členu krát počet členů.