Umocňování dvojčlenu bez Pascalova trojúhelníku Ukažme si jiný způsob vytvoření binomického rozvoje. U vyšších mocnin je přecijen kreslení Pascalova trojúhelníku zdlouhavé.

V tomto video vám chci ukázat něco, co by se dalo popsat jako trik pro rozložení umocněného dvojčlenu, a to hlavně pro případy, kdy je exponent velmi velký. Ale po tomhle videu chci, abyste se zamysleli nad tím, jak tohle souvisí s binomickou větou a s Pascalovým trojúhelníkem. Takže teď vám ukážu ten trik. Vezmu (x plus y) na sedmou. To bude mít osm členů. Jak to vím? No, (x plus y) na prvou má dva členy, je to dvojčlen. (x plus y) na druhou má tři členy. (x plus y) na třetí má čtyři členy. Takže tohle bude mít osm členů. Udělám tu malé přihrádky pro každý z těch členů. Tohle je ta přihrádka, to nejsou ty koeficienty, jen přihrádka. První člen, druhý člen, třetí člen, čtvrtý člen, pátý člen, šestý člen, sedmý člen a osmý člen. A teď pojďme vypsat ta x a y. První člen, budeme začínat s (x na sedmou). V každém dalším členu jde potom mocnitel u ,x' o jedno dolů. Takže x na šestou, na pátou, na čtvrtou, na třetí, na druhou, na prvou, to se dá napsat jen jako x, a tady bude x na nultou, což je 1. Teď promysleme y. Začne to s y na nultou, což je 1, takže to nebudu psát, pak je y na první, na druhou, na třetí, na čtvrtou, na pátou, na šestou, na sedmou a můžete si ověřit, že je to správně, protože pro každý člen by měly exponenty dávat dohromady 7. Vidíte to i zde. Tohle je (x na prvou) krát (x na šestou). Z toho vznikne 7. A teď se dostaneme k té zajímavé části, která vypočítává koeficient. A ten algoritmus je pro každý člen, takže začněme. Víme, že tenhle koeficient bude 1. Raději to sem napíšu. Tenhle koeficient bude roven 1. Takže pro každý člen, tenhle koeficient… Pokusím se to barevně rozlišit, abychom to dobře viděli. Ten koeficient bude exponent předchozího členu… …exponent předchozího členu, v tomto případě 7, exponent předchozího členu, krát koeficient předchozího členu děleno pořadím předchozího členu. Tím byl první člen, takže koeficient druhého členu je 7 krát 1 děleno 1, cože je rovno 7. A co s tímhle? Použijeme stejný postup. Úplně stejný postup. Bude to exponent u ,x' neboli mocnitel u ,x'. Exponent u ,x', což je 6, krát koeficient předchozího členu, takže krát 7, bereme tedy mocnitele ,x' krát koeficient předchozího členu, takže krát 7. Takže exponent u předchozího členu krát koeficient předchozího členu děleno pořadím nebo také indexem předchozího členu, tedy děleno 2. A kolik to bude? Tohle je stejné jako 3 krát 7, takže to bude rovno 21. A teď pojďme k tomuto členu, stejným způsobem. U předchozího členu, jaký byl exponent u ,x'? Bylo to 5. A teď to vynásobme koeficientem, takže to vynásobíme 21 a pak to vydělíme pořadím toho členu, tento byl třetí. Takže to bude, podívejme se, 5 krát… 21 děleno 3 je 7, takže to bude 35 neboli 5 krát 7. A můžeme takhle pokračovat nebo si všimnout, že je tu symetrie. Když tohle je 1, tak poslední koeficient bude taky 1. Když u druhého členu je 7, tak u předposledního bude také 7. Když třetí koeficient je 21, tak třetí odzadu bude také 21. A když čtvrtý koeficient je 35, tak čtvrtý odzadu bude také 35. A tímhle způsobem jsme našli rozklad výrazu (x plus y) na sedmou. Docela šikovné, že?