Graf funkce y=tan(x)

V tomto videu bych vás rád seznámil s grafem funkce tangens θ. K tomu sestrojím jednotkovou kružnici, abychom si mohli představit, jaké jsou hodnoty tangens pro různá θ. Tady máme osu 'y' a tady osu 'x'. Toto je má osa 'x' a jednotková kružnice by vypadala nějak takto. Už víme, tohle je jen opakování, jednotková kružnice, definice goniometrických funkcí, že mám-li úhel, úhel θ, jehož jedno rameno leží na ose 'x' v kladném směru a jehož druhé rameno… Úhel tedy vypadá takto. …tak místo, kde rameno protíná kružnici, souřadnice toho bodu, souřadnice x,y jsou sinus θ… Pardon, souřadnice 'x' je kosinus θ, máme tedy kosinus θ, sinus θ. Tato souřadnice 'x' je kosinus θ, souřadnice 'y' zde je sinus θ. Nás ale zajímá tangens θ. Víme, že tangens θ je to samé jako sinus θ lomeno kosinus θ. Nebo pokud jdete z počátku a počítáte v podstatě s hodnotou 'y'… Souřadnice 'y' lomeno souřadnice 'x', Jde v podstatě o směrnici této přímky. Toto bude změna v 'y' lomeno změna v 'x'. Tento podíl se bude rovnat směrnici tohoto ramene úhlu. Toto nám pomůže si představit, jak vypadá tangens pro různé úhly θ. Jen si tu uklidím jednotkovou kružnici, tak abychom mohli… Dobře, a je to. Teď si udělejme tabulku. Udělejme si tabulku. Pro různé θ hledejme hodnoty tangens θ. Nejsnadnější asi bude, pokud je θ rovno 0 radiánů. Je-li tedy 0 radiánů, jaká je směrnice tohoto ramena? Směrnice tohoto ramene je 0. Pro různá 'x' zůstává 'y' stejné. Nyní se zamysleme… Budu vybírat hodnoty, u nichž bude snadné vymyslet, jaké budou hodnoty tangens a to nám pomůže sestrojit, pomůžou nám vymyslet tvar grafu 'y' se rovná tangens θ. Vezměme si (π lomeno 4) radiánů. Tato hodnota, θ se rovná (π lomeno 4). Proč nás to zajímá? Někdy je lepší počítat se stupni, toto je tedy úhel 45 °. Souřadnice 'x' a 'y' jsou zde stejné. Možná si pamatujete, je to (odmocnina z 2) lomeno 2. Podstatné však je, že ať už se posunete na 'x' jakkoli, posunete se stejně na 'y'. Směrnice tohoto ramene bude tedy 1. Jinými slovy, tangens θ se bude rovnat 1. Stejně tak sinus θ lomeno kosinus θ, to je to stejné, proto dostanete 1. Jen si tu udělám pořádek, protože zůstanu u stejné jednotkové kružnice. Pokud se θ rovná (π lomeno 4), pak se tangens θ bude rovnat 1. Co když se bude θ rovnat (-π lomeno 4)? To bude vypadat takto. Nakreslím si tu malý trojúhelník. Pokud se souřadnice 'x' rovná (odmocnina z 2) lomeno 2, to víme. To jsme viděli už několikrát… Víte co, označím to lépe. θ se rovná (-π lomeno 4) radiánů. Nebo chcete-li ve stupních, pak řekneme -45 °. Teď budou hodnoty sinus a kosinus tohoto úhlu navzájem opačné. Kosinus je (odmocnina ze 2) lomeno 2. Hodnota 'x' tohoto průsečíku je (odmocnina ze 2) lomeno 2. Hodnota 'y' je minus (odmocnina ze 2) lomeno 2. Jaká je hodnota tangens? Bude to tedy sinus lomeno kosinus, což bude záporné, to přece vidíte. Kamkoliv se na 'x' posunete, na 'y' jdete opačným směrem. Opět to tu vyčistím, abych mohl zůstat u své stejné kružnice. Tak. Toto tedy bude -1. Tato hodnota bude -1. Vlastně vynesme některé tyto body do grafu. Řekněme, že tohle je osa θ. tady tato, to je osa θ a tady máme osu 'y'. Hned vidíme, že tangens 0 se rovná 0. Tangens (π lomeno 4) se rovná 1. Tangens (-π lomeno 4) se rovná -1. Podívejte, teď si můžete říct: „Aha, toto je nějaká přímka,“ uvidíte ale, že to není přímka, protože jak se bude hodnota úhlu blížit… …jak se bude blížit k hodnotě (π lomeno 2). Co se stane s touto směrnicí? Toto je θ, jsme blíže a blíže hodnotě (π lomeno 2). Toto, asi bych měl říct rameno, je stále vice a více svislé, tudíž jeho směrnice narůstá v kladném směru, a jakmile dosáhne bodu (π lomeno 2), vlastně v tom bodu není definována, ale blíží se… Jinými slovy se blíží nekonečnu. Jak se stále přibližujete (π lomeno 2)… Udělám tu v podstatě vertikální asymptotu, přesně tady v bodě (π lomeno 2), jelikož nikdy nebude… Můžeme říct, že v tomto bodě jde do nekonečna, takže to bude vypadat nějak takto. Asi nějak takto. Čím blíže jste s úhlem k (π lomeno 2), tím blíže jste se směrnicí k nekonečnu. Co když se bude úhel blížit k hodnotě (-π lomeno 2)? Pak bude směrnice víc a víc záporná. Bude se blížit minus nekonečnu. Udělám tedy nákres. Opakuji, že v tomto bodě není definována, máme zde vertikální asymptotu a funkce jde do minus nekonečna. Blížíme se minus nekonečnu. Takto vypadá graf funkce tangens θ na tomto úseku, asi mohu říci osy θ, ale my můžeme pokračovat. Můžeme jít dále, protože jakmile překročíme hranici (π lomeno 2), řekněme, že jsme ji zrovna překročili, jsme hned na druhé straně, jaká je tedy směrnice? Jakou má toto směrnici? Bude velmi záporná, skoro to vypadá jako to předtím, Graf tedy přeskočí sem dolů, je hodně záporný. Jak roste úhel θ, jsme méně a méně v záporu, až dokud nedosáhneme… Co je tohle? …až dokud nedosáhneme… Jen si to nakreslím. …tohoto úhlu. Co to je za úhel? Ještě jsem vám to neřekl. Řekněme, že tento úhel se rovná (3π lomeno 4). Proč zrovna (3π lomeno 4)? Protože to je (π lomeno 2) plus (π lomeno 4). (2π lomeno 4) plus (π lomeno 4) je (3π lomeno 4). Zajímavé to je, protože pak dostaneme (π lomeno 4)-(π lomeno 4)-(π lomeno 2) trojúhelník, Neboli trojúhelník s úhly 45-45-90, kde mají souřadnice 'x' a 'y' stejnou velikost. Jenomže teď bude 'x' záporné a 'y' kladné. Zde tedy bude směrnice stejná jako ta, jaká byla pro (-π lomeno 4) radiánů. Bude mít hodnotu -1. V bodě (3π lomeno 4) má směrnice hodnotu -1. Poté budeme úhel zvětšovat, až dosáhneme π. Směrnice je opět 0. Hodnota je znovu 0. Poté, když půjdeme dále, jakmile úhel zvětšíme o další (π lomeno 4), směrnice bude opět rovna 1. Směrnice je opět 1. Pak znovu, jak se blížíme 3π lomeno 2, je směrnice více a více kladná a blíží se plus nekonečnu. Ta směrnice říká, že malý nárůst na 'x' znamená velký nárůst na ose 'y'. Tedy ještě jednou, nyní bude graf vypadat takto. Udělám to barevně, ať to dobře vidíte. Graf bude vypadat asi takto. A takto půjde stále dokola. Za každých π radiánů to udělá znovu. Udělám to tečkovanou čárou. Každých π radiánů znovu a znovu. Vrátím-li se o π a nakreslím tu asymptoty. Můžu je nakreslit tady, Tuto a tuto. Graf tangens… Graf funkce tangens θ bude vypadat nějak takto. Evidentně periodický, mohli bychom pokračovat dál a dál v obou směrech.