Souhrn goniometrických vzorců

Už jsem udělal pár videí, kde vysvětluju goniometrické identity, které se teď chystám vysvětlit v tomto videu. Dělám to, protože si potřebuji sám zopakovat nějaké věci. Řešil jsem jeden početní příklad a potřeboval jsem toto znát. A mám teď lepší nahrávací program, tak zabiju dvě mouchy jednou ranou, nahraju nové video a trochu si ty věci sám osvěžím. Goniometrické identity, které snad znáte, protože jsem o nich už videa dělal, a které si trochu lépe zapamatujeme nebo dokážeme, zní: Sinus (a plus b) se rovná sinus a krát kosinus b plus sinus b krát kosinus a. To je první identita, o které předpokládám, že ji znáte. A když pak budeme chtít znát sinus… Napíšu to trochu jinak. Když budu chtít vyjádřit sinus a plus… Napíšu to takto, minus c. Což je totéž jako a minus c. Takže můžeme tento vzorec použít a říct, že se to rovná sinus a krát kosinus (-c) plus sinus (-c) krát kosinus a. A my víme, a to je další věc, o které předpokládám, že ji znáte, že kosinus (-c) se rovná kosinus c. Že kosinus je sudá funkce. Můžete to vidět při pohledu na graf funkce kosinus nebo přímo na jednotkové kružnici. A že sinus je lichá funkce. Sinus (-c) se vlastně rovná -sinus c. Obě tyto informace můžeme použít, abychom upravili druhý řádek shora, a napíšeme, že sinus (a minus c) se rovná sinus a krát kosinus c, protože kosinus (-c) je totéž jako kosinus c. Krát kosinus c. A pak minus sinus c. Místo, abych psal tohle, můžu napsat toto. Minus sinus c krát kosinus a. Takže jsme to tak zhruba dokázali na předchozích znalostí. Dobrá. A teď to použiju, abych dokázal pár dalších goniometrických identit, které budu potřebovat. Takže další goniometrická identita zní, že kosinus (a plus b) je roven kosinus a… Nemícháme tady kosiny a siny. Kosinus a krát sinus b. A tady je minus… Pardon. Řekl jsem, abyste to nespletli, a sám jsem to spletl. Krát kosinus b minus sinus a krát sinus b. Když budete chtít vědět, čemu se rovná kosinus (a minus b), tak použijete ten samý postup. Kosinus (-b) bude pořád totéž jako kosinus b. Takže to bude kosinus a krát kosinus… Kosinus (-b) je totéž jako kosinus b. Ale tady pak budete mít sinus (-b), což je totéž jako -sinus b. A ty minusy se navzájem vyruší, takže to bude plus sinus a krát sinus b. Je to trochu záludné. Když máte tady kladné znaménko, dostanete napravo záporné. Když vlevo máte minus, dostanete vpravo plus. Ale dál. Nechci se tím moc zdržovat, protože se potřebujeme podívat na další identity. Takže co když potřebuji vyjádřit, řekněme, kosinus 2a? Takže kosinus 2a. To je stejné jako kosinus ( a plus a). A můžeme použít vzoreček nahoře. Když to druhé "a" se rovná mému "b", tak se to rovná kosinus a krát kosinus a minus sinus a krát sinus a. V tomhle případě je člen "b" taky "a", takže můžu tuhle rovnici přepsat jako kosinus na druhou "a". Prostě jsem vynásobil kosinus "a" sám sebou. Minus sinus na druhou "a". To je jedna identita. Kosinus 2a je roven kosinus na druhou "a" minus sinus na druhou "a". Dám do rámečku identity, které si ukazujeme v tomhle videu. Takže jednu jsem právě ukázal. Co když mi to nestačí? Co když to chci vyjádřit v kosinech? Použijeme definici goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice. Tohle je úplně nejzákladnější identita. Sinus na druhou "a" plus kosinus na druhou "a" je roven 1. Nebo to můžete napsat… Jak bych to nejlíp ukázal. Můžete napsat, že sinus na druhou "a" je roven 1 minus kosinus na druhou "a". A pak vezmeme levou stranu a dosadíme ji sem. Takže můžeme zapsat, že kosinus (2a) je roven kosinus na druhou "a" minus sinus na druhou "a". Ale sinus na druhou "a" je vyjádřený tady. Takže minus… Napíšu to jinou barvou. Minus 1 minus kosinus na druhou "a". To jsem dosadil za sinus na druhou "a". A to se tedy rovná kosinus na druhou "a" minus 1 plus kosinus na druhou "a". Což se rovná… Sečteme to. Budu pokračovat napravo. Máme jeden kosinus na druhou "a" plus druhý kosinus na druhou "a", takže to je 2 kosiny na druhou "a" minus 1. A to všechno se rovná kosinus (2a). A když budu chtít vyjádřit, čemu se rovná kosinus na druhou "a" na základě tohoto? Tak to prostě vypočítáme. Když k oběma stranám rovnice přičteme 1… Zapíšu to. Tohle je naše další identita. Ale když přičteme k oběma stranám rovnice 1, dostaneme, že 2 krát kosinus na druhou "a" se rovná kosinus "2a" plus 1. A když obě strany vydělíme 2, vyjde nám, že kosinus na druhou "a" se rovná 1/2… Můžeme to přeskupit. Krát 1 plus kosinus 2a. A je to. A máme další identitu. Kosinus na druhou "a", někdy se tomu říká identita pro redukci mocniny. A co kdybychom to chtěli vyjádřit pomocí sinu na druhou "a"? Vrátíme se zpátky a z této identity víme, že sinus na druhou "a" se rovná 1 minus kosinus na druhou "a". Nebo ještě jinak. Mohli bychom od obou stran odečíst sinus na druhou "a" a dostali bychom… Posunu se dolů. Když od obou stran odečtu sinus na druhou "a", dostaneme kosinus na druhou "a" se rovná 1 minus sinus na druhou "a". A můžeme se vrátit k tomuto vzorci a napsat... Napíšu to modře. Můžeme napsat, že kosinus 2a se rovná… Místo kosinus na druhou "a" napíšu toto… Se rovná 1 minus sinus na druhou "a" minus sinus na druhou "a". Sinus na druhou "a". Takže můj kosinus 2a je roven… Mám minus sinus na druhou "a" minus další sinus na druhou "a". Takže mám 1 minus 2 krát sinus na druhou "a". To je další identita. Jiný způsob, jak vyjádřit kosinus 2a. Našli jsme řadů způsobů, jak napsat kosinus 2a. Kdybychom chtěli vyjádřit sinus na druhou 2a, můžeme ho přičíst k oběma stranám rovnice. Udělám to a napíšu to sem, abych ušetřil místo. Trošku to posunu. Takže se dostávám sem. Když přičtu 2 krát sinus na druhou "a" k oběma stranám, dostanu, že 2 krát sinus na druhou "a" plus kosinus 2a se rovná 1. Od obou stran odečteme kosinus 2a. Dostaneme, že 2 krát sinus na druhou "a" se rovná 1 minus kosinus 2a. Pak vydělíme obě strany 2 a vyjde nám, že sinus na druhou "a" se rovná 1/2 krát (1 minus kosinus 2a). A máme další objev. Můžeme tomu tak říkat. Naše zjištění. A to je zajímavé. Zajímavé sledovat tu symetrii. Kosinus na druhou… Jsou stejné, jenom tu máme plus 2a pro kosinus na druhou a tady máme minus kosinus 2a u sinu na druhou. Takže jsme už zjistili spoustu zajímavých věcí. Podíváme se, jestli můžeme udělat se sinus 2a ještě něco. Najdu barvu, kterou jsem ještě nepoužil. Asi jsem už použil všechny. Takže když chci vyjádřit sinus 2a, to se rovná sinus (a plus a). Což se rovná sinus "a" krát kosinus... Nechci to tak tlustě. Krát kosinus "a" plus… A tenhle kosinus "a", to je to druhé a. Můžete to tak vnímat. Plus sinus… Používám ten vzorec sinus (a plus b). Plus sinus toho druhého "a" krát kosinus prvního "a". Napsal jsem právě stejnou věc dvakrát, takže to je prostě rovno 2 krát sinus "a" krát kosinus "a". To bylo jednodušší. Takže sinus 2a se rovná tomuto. To je další výsledek. Já už jsem tedy unavený těmi všemi siny a kosiny. A dokázal jsem spočítat vše, co potřebuju pro svůj početní příklad. Doufám, že vám tohle shrnutí pomohlo, protože mně ano. Můžete si toto zapsat, můžete se to naučit nazpaměť, ale doopravdy důležité je, abyste si uvědomili, že skutečně dokážete odvodit všechny tyhle vzorce z původních vzorců, které už jsme znali. A i u těchto vzorců vám můžu dokázat, že je lze odvodit ze základních definic našich goniometrických funkcí.