Aplikace součtových vzorců

V tomto videu bych se rád pokusil zjistit, kolik je rovno sinus (7π lomeno 12), aniž bych použil kalkulačku. Představme si tedy (7π lomeno 12) na jednotkové kružnici. Jedno rameno úhlu jde po ose x. Pokud bychom šli přímo nahoru, bylo by to (π lomeno 2), což je (6π lomeno 12). Pak přídáme π lomeno 12, a jsme tam, kde chceme. To je úhel, o kterém je řeč. 7π lomeno 12 radiánů. Sinus tohoto úhlu, podle definice jednotkové kružnice, je y-ová souřadnice bodu, kde rameno úhlu protne kružnici. Toto je jednotková kružnice. Bod, kde rameno protne kružnici, jeho y-ová souřadnice je sinus. Jinými slovy, je to délka této úsečky. Pozastavte video a pokuste se na to přijít sami. Zkuste využít moci trigonometrie a najděte sinus (7π lomeno 12), najděte délku této fialové úsečky. Předpokládám, že jste to zkusili. Jste-li jako já, napadne vás zaměřit se na tento trojúhelník. Ten trojúhelník vypadá takto. Toto je to, co se snažíte zjistit. Toto je rovno sinu (7π lomeno 12). Víme, že délka přepony je rovna 1, jde o poloměr jednotkové kružnice. Je to pravoúhlý trojúhelník. Také známe tento úhel, což je tento úhel zde. Toto je 6π lomeno 12, přidáme tedy další π lomeno 12. Víme tedy, že tento úhel je π lomeno 12. Na základě této informace můžeme přijít na… Alespoň můžeme dát do vztahu tuto stranu s ostatními, pomocí trigonometrických funkcí tohoto úhlu. Toto je přilehlá strana. Kosinus (π lomeno 12) bude roven délce fialové strany lomeno 1. Bude tedy roven délce fialové strany. Toto je tedy cos(π lomeno 12). Přišli jsme na to, že sin(7π lomeno 12) je roven cos(π lomeno 12). To mi však nepomůže. Nevím z hlavy, kolik je cos(π lomeno 12). Namísto toho se podívejme, zda dokážeme složit tento úhel, nebo zda ho dokážeme rozložit do úhlů, pro které znám sinus a kosinus. Jaké úhly to jsou? To jsou úhly ve speciálních pravých trojúhelnících. Například známý 30-60-90 trojúhelník. 30-60-90 trojúhelník vypadá nějak takto. To je můj nejlepší pokus. Místo 30 ° budu psát (π lomeno 6) radiánů, 60 ° napíšu jako (π lomeno 3) radiánů a toto je samozřejmě pravý úhel. Je-li přepona rovna 1, pak je strana naproti úhlu 30 °, tedy (π lomeno 6), rovna polovině přepony, což je v tomto případě (1 lomeno 2). Strana naproti úhlu 60 °, tedy (π lomeno 3) radiánů, bude (odmocnina ze 3) krát kratší strana. Bude to (odmocnina ze 3) lomeno 2. Takové trojúhelníky jsme již využívali, abychom nalezli sin a cos úhlů 30 a 60 °. V tomto případě (π lomeno 6) a (π lomeno 3) radiánů. Známe tedy (π lomeno 6) a (π lomeno 3). Známe rovněž 45-45-90 trojúhelníky. Víme, že jsou rovnoramenné. Vypadají takto. Lépe to nakreslit neumím. Dokonce ani nevypadá rovnoramenně. Zkusím to tedy… Nevím… To vypadá více jako rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. Víme, že délka přepony je rovna 1. Z Pythagorovy věty přímo plyne, že délky zbylých stran jsou rovny [(odmocnina ze 2) lomeno 2] krát přepona. V tomto případě (odmocnina ze 2) lomeno 2. Namísto psaní 45 ° je budu označovat jako (π lomeno 4) radiánů. Dáte-li mi (π lomeno 6), (π lomeno 3), (π lomeno 4) radiánů, mohu použít tyto trojúhelníky, ať už pomocí klasické definice nebo pomocí jednotkové kružnice, ke zjištění hodnot funkcí sinus, kosinus a tangens v těchto úhlech. Mohu rozložit (7π lomeno 12) na kombinaci (π lomeno 6), (π lomeno 3), (π lomeno 4)? Zamyslete se. Přepíšu (π lomeno 6), (π lomeno 3) a (π lomeno 4), tak aby byl jejich jmenovatel 12. Napíšu to. (π lomeno 6) je (2π lomeno 12). (π lomeno 3) je (4π lomeno 12). (π lomeno 4) je (3π lomeno 12). Podívejme. 2 plus 4 není 7, 2 plus 3 není 7, ale 4 plus 3 je 7. Mohu použít tedy toto a toto. (4π lomeno 12) plus (3π lomeno 12) je rovno (7π lomeno 12). Mohu to přepsat. Je to stejné jako sinus [(3π lomeno 12) plus (4π lomeno 12)]. což je samozřejmě rovno… Udělám to jinou barvou. …sin[(π lomeno 4) plus (π lomeno 3)]. Nyní využijeme vzorce pro sinus součtu úhlů, abychom to přepsali jako součet součinů sinu a kosinu těchto úhlů. Pusťme se do toho. Toto bude rovno sin(π lomeno 4) krát cos(π lomeno 3) plus cos(π lomeno 4) krát sin(π lomeno 3). Teď jen musíme přijít na toto. Už tu na to mám nachystané trojúhelníky. Kolik je sin(π lomeno 4)? Zamysleme se. (π lomeno 4) radiánů. Sinus je „protilehlá ku přeponě“. Bude to (odmocnina ze 2) lomeno 2. (odmocnina ze 2) lomeno 2. Kolik je cos(π lomeno 3)? (π lomeno 3) radiánů. Kosinus je „přilehlá ku přeponě“. Bude to tedy (1 lomeno 2). Kolik je cos(π lomeno 4)? Zpátky k (π lomeno 4). Kosinus je „přilehlá ku přeponě“. Je to (odmocnina ze 2) lomeno 2. Kolik je sin(π lomeno 3)? Sinus je „protilehlá ku přeponě“. [(odmocnina ze 3) lomeno 2] lomeno 1. Což je (odmocnina ze 3) lomeno 2. Teď to jen musíme zjednodušit. Toto bude rovno součtu součinů. Toto je (odmocnina ze 2) lomeno 4. Plus tento součin. Podívejme se. Můžeme to napsat jako (odmocnina ze 6) lomeno 4. Také to můžeme celé přepsat. V této chvíli si zasloužíme fanfáry. Toto je rovno… Trochu se posunu vpravo. Toto je rovno (odmocnina ze 2) plus (odmocnina ze 6), to celé lomeno 4. Tomu je rovno sin(7π lomeno 12), což je rovněž i cos(π lomeno 12).