Řešení rovnic cos(θ)=1 a cos(θ)=-1

V grafu pod textem, pro jaké hodnoty théta (θ) se kosinus θ rovná 1 a pro jaké hodnoty θ se kosinus théta rovná -1? Načrtnuli nám tady krásný graf, ta horizontální osa je osa θ a ta vertikální osa je osa y, a toto je tedy graf y se rovná kosinus θ. Odpovídá to definici vycházející z jednotkové kružnice a ujistěme se, že ji zvládáme, protože s definicí podle jednotkové kružnice… Nakreslím nám tedy jednotkovou kružnici, a nakreslím ji jen zhruba, abychom měli obecnou představu o tom, co se tady děje. Když se θ rovná 0, jsme v tomto bodě na jednotkové kružnici. A jaká je x-ová souřadnice tohoto bodu? Je to 1 a vidíte, že když je θ rovna 0 tady v grafu, kosinus θ je roven 1. Když je θ rovna π/2, jsme v tomto bodě na jednotkové kružnici, a jeho x-ová souřadnice je jaká? Jeho x-ová souřadnice je 0. A opět to vidíme, když jsme v π/2, x-ová souřadnice je 0, takže to přesně odpovídá definici podle jednotkové kružnice. Když se pohybujeme v grafu doprava, jdeme proti směru hodinových ručiček kolem jednotkové kružnice. A když se pohybujeme doleva, jdeme proti... Pardon. Když jdeme doprava, pohybujeme se proti směru, a když jdeme doleva podél osy x do záporných úhlů, pohybujeme se po směru hodinových ručiček kolem jednotkové kružnice. Odpovězme tedy na jejich otázku. Pro jaké hodnoty θ se kosinus θ rovná 1? Můžeme to prostě vyčíst z tohoto grafu. Je to rovno 1, kosinus θ je roven 1, kosinus θ je roven 1, když θ je rovna… Vidíme to přímo tady. θ je rovna 0, θ je rovna… Musíme dojít zase až k 2π, ale pak to pokračuje dál a dál, což dává smysl. θ byla rovna, pardon, kosinus θ, x-ová souřadnice na jednotkové kružnici byla 1, když jsme byli v úhlu 0, a museli jsme obejít celou kružnici, abychom se dostali zpátky do toho bodu, 2π radiánů. Pak to ale nastane znovu, když se dostaneme do 4π radiánů, a pak 6π radiánů, takže 2π, 4π, 6π, a myslím, že už tam vidíte ten systém. Narazíme na kosinus θ roven 1 každé 2π, takže by se to dalo vnímat jako násobky 2π. 2πn, kde n je celé číslo, n je celé číslo. A to platí i pro záporné hodnoty. Pokud půjdeme zpátky na druhou stranu, dostaneme se k tomu bodu až u -2π. Všimněte si, že jsme byli na 0, a pak budeme v 1 zase na -2π, pak -4π a pak zase a zase. To platí, když n bude celé číslo, n může být i záporné, a tak se dostaneme ke všem záporným hodnotám θ, kde se kosinus θ rovná 1. Teď se zamysleme nad tím, kdy se kosinus θ rovná -1. Kosinus θ je roven -1, když se θ rovná… Můžeme se prostě podívat tady do grafu. Když se θ rovná π, když se θ rovná π a pak, i když už jdeme mimo graf, ale ten graf by pokračoval takto, a viděli bychom, že by to tak bylo i u 3π. A můžete si to představit i tady. Théta... kosinus θ je roven -1, když jsme v tomto bodě jednotkové kružnice. Takže to nastává, když se dostaneme do π radiánů, a pak to nenastane znovu, dokud se nedostaneme k 2π, 3π radiánů. 3π radiánů. A nestane se to znovu, dokud nepřidáme další 2π, dokud neuděláme celou jednu otáčku, takže to bude 5π radiánů. A takhle můžeme pokračovat dál a dál, a to stejné platí pro záporný směr, takže pokud od tohoto odečteme 2π, když jsme byli tady a teď jdeme zpátky až k -π, mělo by to být stejně, a můžete to vidět i v grafu. Můžeme to tedy zapsat jako 2πn plus π nebo jako (2n plus 1) krát π, kde π je… Pardon, n je celé číslo. Napíšu to trochu úhledněji, n je celé číslo. V každém z těchto bodů, v každé této thétě se bude kosinus θ rovnat -1, znovu a znovu. A vidíte, že od jednoho "spodku", od jednoho "dolíku" do druhého je potřeba 2π, 2π, abychom se dostali do dalšího "dolíku". A to samé platí i pro "vrcholky". Bylo potřeba 2π, abychom se dostali z vrcholu jednoho "kopce" k druhému, a pak opět 2π, abychom se dostali zase k dalšímu.