Limity
Přihlásit se
Limity (15/23) · 4:33

Více o limitách v nekonečnu Na několika příkladech zjistíme, jakou roli hrají dominantní členy, s jejichž pomocí určíme limity v plus nebo minus nekonečnu.

Udělejme si pár dalších příkladů na hledání limit funkcí, když se "x" blíží k nekonečnu nebo minus nekonečnu. Máme tady tuhle šílenou funkci, [funkce] Takže co se stane, když se "x" blíží k nekonečnu? Klíčem k řešení, jak jsme viděli v ostatních případech, je rozeznat, který člen bude dominovat. Například, v čitateli 9 krát x^7 bude růst mnohem rychleji než kterýkoli z těchto ostatních členů, jde tedy o dominantní člen v čitateli. Ve jmenovateli 3 krát x^7 bude růst mnohem rychleji než x^5, a rozhodně mnohem rychleji než logaritmus o základu 2. V nekonečnu, když se dostáváme blíž a blíž k nekonečnu, bude tato funkce zhruba stejná jako (9 krát x^7) lomeno (3 krát x^7) a my můžeme říct, ...obzvláště potom kdy je funkce větší a větší, když se dostáváme blíž a blíž k nekonečnu a tyto dvě věci se dostávají blíže a blíže k sobě... můžeme říct, že tato limita bude stejná jako tato limita, která se bude rovnat limitě, kdy se "x" blíží k nekonečnu. Teď můžeme zkrátit x^7, takže to bude 9 lomeno 3, což se rovná 3 Toto je tedy limita, kdy se "x" blíží k nekonečnu, celého tohohle blázince. Pojďme udělat to samé s druhou funkcí. Další šílená funkce, jdeme do minus nekonečna, ale používáme stejný postup. Který člen dominuje, když absolutní hodnota "x" roste a roste a roste? Tedy když "x" bude větší co do velikosti. V čitateli je to člen 3 krát x^3, ve jmenovateli je to 6 krát x^4. Takže to bude stejné jako limita (3 krát x^3) lomeno (6 krát x^4), kdy se "x" blíží k minus nekonečnu. A když to zjednodušíme, bude to stejné jako limita, kdy se "x" blíží k minus nekonečnu, z 1 lomeno 2 krát x A jak to bude tady? Protože je jmenovatel stále větší a větší záporné číslo, dostaneme 1 lomeno tímto číslem, což nás dostane zatraceně blízko k nule. I pouhé 1 lomeno x se rychle blíží k nule. Horizontální asymptota v tomto případě má předpis y se rovná 0. Radím vám abyste si to nakreslili, nebo si to zkusili ověřit sami. Klíčem k řešení je zjednodušit problém pouhým přemýšlením o tom, který člen bude dominovat nad ostatními. Nyní pojďme přemýšlet o tomhle. Jaká je limita této šílené funkce, když se "x" blíží k nekonečnu? Takže znovu, jaké jsou dominantní členy? V čitateli je to 4 krát x^4, ve jmenovateli je to 250 krát x^3. To jsou tedy členy nejvyššího stupně. Bude to tedy stejné jako limita pro "x" blížící se k nekonečnu z (4 krát x^4) lomeno (250 krát x^3). Což bude po zkrácení stejné jako... ...4 a 250 nemají společného dělitele... Nechám to takhle. Bude to limita 4 lomeno 250 x^4 děleno x^3 je "x". Bude to tedy limita pro "x" jdoucí k nekonečnu z 4 lomeno 250 krát x. Respektive zlomek 4 lomeno 250 můžeme vytknout před závorku. A co teď s tímhle? Jaká je limita x, když se "x" blíží k nekonečnu? Toto teď bude dál růst do nekonečna. A nekonečno krát nějaké číslo je stále nekonečno. Takže limita tohohle celého, když se "x" blíží k nekonečnu, je vlastně nekonečná. Je to nekonečno. Jeden způsob, jak na to přijít, je uvědomit si, že čitatel má člen čtvrtého stupně, zatímco nejvyšší stupeň ve jmenovateli je jen stupeň třetí. Takže čitatel bude růst daleko rychleji než jmenovatel. A když čitatel roste mnohem rychleji než jmenovatel, budete se v tomto případě blížit k nekonečnu. Pokud by čitatel rostl mnohem pomaleji než jmenovatel, pokud by jmenovatel rostl mnohem rychleji než čitatel, jako jsme to měli tady, budete se blížit k nule. Doufám, že Vám to bylo trochu užitečné.
video