Limity
Přihlásit se
Limity (15/19) · 5:14

Vodorovné asymptoty v plus a minus nekonečnu Jak určíme vodorovné asymptoty v plus a minus nekonečnu s použitím limit?

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Řekněme, že f(x) je rovno x lomeno odmocnina z (x^2 plus 1) a chci zjistit, jaká je limita z f(x), když "x" jde do plus nekonečna a když "x" jde do minus nekonečna. Rozmysleme si, jak to bude. Ze všeho nejdříve je dobré si zkusit do předpisu dosadit větší a větší "x" a kouknout se, čemu se to pak zhruba rovná. Dosazujeme velká kladná nebo malá záporná čísla, absolutní hodnota dosazovaných čísel se bude zvětšovat, jak se budeme blížit oběma nekonečnům. V čitateli máme jen jeden výraz, "x" ale ve jmenovateli máme 2 výrazy pod odmocninou. Jak se "x" zvětšuje a zvětšuje v kladném i záporném směru, tato mocnina bude víc a víc dominantní než jednička. Představte si, když "x" je milion, bude to milion na druhou plus jedna. Hodnota jmenovatele tedy bude určena hlavně výrazem x^2. Funkce bude zhruba x lomeno odmocnina z x^2. Tento výraz, ta jednička, nebude důležitá, když budeme dosazovat hodně velká "x". Tedy x lomeno odmocnina x^2 a to se bude rovnat... ...když něco umocním na druhou, pak to odmocním a budu uvažovat jen kladný výsledek vlastně tvořím absolutní hodnotu z x... Tedy bude se to rovnat x lomeno absolutní hodnota z x pro "x" blížící se k plus nebo minus nekonečnu. Neboli, tuto limitu můžeme zapsat pro "x" blížící se k nekonečnu takto. Bude se rovnat limitě x lomeno |x|, pro "x" jdoucí k nekonečnu. Pro kladná x bude |x| rovno x, x se zkrátí a zůstane 1. Podobně, pokud vezmeme tuto limitu a půjdeme k minus nekonečnu, bude to limita x lomeno |x| pro "x" jdoucí k minus nekonečnu. Pamatujte si, že tuhle úpravu jsem mohl udělat jenom proto, že f(x) a tahle věc tady se stanou velmi podobnými, dá se říct, že se sbíhají, když za "x" dosadíme hodně velké kladné, nebo hodně záporné číslo. Teď, pro záporná "x" bude absolutní hodnota kladná. "x" bude očividně záporné a dostaneme prostě −1. Když víme tohle, můžeme se pokusit naši funkci nakreslit. Tohle bude osa y, tohle osa x. A vidíme, že máme dvě vodorovné asymptoty. Máme jednu vodorovnou v y je rovno 1, to bude třeba tady v tom bodě, nakreslím to čárkovaně. K tomuhle se budeme blížit. Pak máme další vodorovnou asymptotu v y rovno −1. To bude třeba tady, y = −1. A vypočteme si alespoň jeden bod, třeba f(0). f(0) bude 0 lomeno odmocnina z (0 plus 1), což je rovno 0. Takže máme tenhle bod a víme, že jak se "x" blíží nekonečnu, budeme se blížit k této modré vodorovné asymptotě. Takže to bude vypadat nějak takhle. Udělám to trochu jinak. Trochu to upravím, bude to vypadat asi takhle. Špatná barva. Bude to vypadat takhle. Dostáváme se blíž a blíž k asymptotě, jak "x" roste, a dostáváme se blíž k této druhé asymptotě, jak "x" klesá. Nekreslím to zrovna moc dobře. Tohle tady bude y = f(x) Můžete si to ověřit na kalkulačce, zkusit si vypočíst víc bodů nebo použít grafickou kalkulačku nebo tak něco. Každopádně, chtěl jsem jen ukázat, jak se vypořádat se situací, kdy se blížíme nekonečnům a chceme určit vodorovné asymptoty. Pamatujte, že klíčem je zjistit, které členy budou dominantní, když se "x" bude blížit plus nebo minus nekonečnu. Pak můžeme říct, čemu se bude blížit celá funkce. A to bude tahle asymptota v kladném směru a ta druhá v záporném.
video