Limity
Přihlásit se
Limity (1/19) · 11:32

Úvod do limit Co je to limita? Je to nástroj, jež nám umožňuje zjistit funkční hodnotu v bodech, ve kterých funkce není definovaná. Graficky si to ukážeme.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
V tomto videu bych vás chtěl seznámit s tím, co to jsou limity. Je to důležitá idea, na které je kalkulus (matematická analýza) založen. I přestože je velmi důležitá, je vlastně úplně jednoduchá. Nakresleme si funkci, vlastně definujme si funkci. Funkce nechť je jednoduchá. Definujme f(x) jako (x − 1)/(x − 1). A můžete si říct. „Hele Sale, podívej, mám v čitateli i jmenovateli stejný výraz. Pokud mám něco děleno tím samým, tak se to rovná jedna! Nemohu to prostě zjednodušit na f(x) = 1?“ A já bych řekl: „No, máš skoro pravdu. Rozdíl mezi touto funkcí a f(x) = 1 je, že tento výraz není definován pro x = 1. Pokud máš f(1), co se stane?“ V čitateli dostaneš (1 − 1), což je… … napišme to… v čitateli dostáváš 0 a ve jmenovateli dostáváš (1 − 1), což je taky 0. A cokoliv děleno nulou je nedefinováno. Takže výraz můžeš zjednodušit, ale musíš doplnit tvrzení, že ,x' se nesmí rovnat 1. Potom je tohle a tohle ekvivalentní. Oba výrazy se rovnají 1, pro všechna ,x' různá od 1. Ale v x = 1 se výraz stává nedefinovaným. Toto je nedefinované a toto také. Takže, jak nakreslím graf téhle funkce? Nakresleme si ho. Tohle je moje y = f(x), a tohle tady je osa ,x' a řekněme, že tenhle bod je x = 1, tenhle bude x = −1 a tento y = 1, tady by mohlo být y = −1, ale to není pro naši funkci podstatné. Tak si ji nakresleme. Pro všechna ,x' různá od 1, f(x) = 1 bude vypadat takhle. Pro x = 1 není funkce definována, takže tu udělám kroužek, čímž to vyznačím. Nevíme, jakou má funkce hodnotu v 1, nikde jsme to nedefinovali. Tahle definice funkce nám neříká, co máme udělat v bodě 1. V bodě x = 1 je doslova nedefinovaná. Tak tohle je ta naše funkce. A když se nás někdo zeptá: „Kolik je f(1)?“, podíváte se na ose x na bod 1. A počkat! Tady je mezera v mé funkci. Řekneme, že není definováno. Napišme si to ještě jednou. f(1) je nedefinováno. Co když se zeptáte, k čemu se ta funkce blíží v x = 1? Teď už se dostáváme k samotným limitám. Jak se ,x' dostává blíže a blíže k 1, k jaké hodnotě se blíží? K jaké hodnotě se po celou dobu dostává blíže a blíže? Nalevo, bez ohledu jak blízko jste 1, a přitom ,x' není rovno 1, platí f(x) = 1. Na druhé straně dostáváte tu samou věc. Takže byste mohli říct, což si ještě mnohokrát procvičíme, že limita f(x), když se ,x' blíží k 1, tedy když se dostáváme neskutečně blízko k 1 a nejsme přesně na 1, a naše funkce bude rovna 1, blíží se víc a víc k 1, Je vlastně 1 po celou dobu. Takže můžeme vlastně říci, že limita pro ,x' jdoucí k 1 funkce f(x) je 1. Má to zvláštní zápis, ale jen se ptáme: „K jaké hodnotě se ta funkce blíží, když se ,x' blíží čím dál tím více k 1?“ Pojďme na další příklad, abyste měli obecnou představu. Mějme funkci f(x), ne budeme ji pro změnu říkat g(x). Mějme tedy g(x) a definujme ji jako x² pro ,x' různé od 2 a řekněme, že pro x = 2 je funkce rovna 1. Takže zase máme velmi zajímavou funkci, která není zcela hladká. Má nespojitost. Nakresleme jí. Toto je osa y = g(x) a tohle je osa x. Zde bude x = 1, tady x = 2, tohle je −1, toto −2… Tedy všude kromě x = 2 je funkce rovna x². Nakresleme ji takhle: Bude to parabola. Nakreslím lepší verzi paraboly. Takže bude vypadat asi takhle. Není to nejkrásnější parabola na světě, ale myslím, že pro představu stačí. Měla by být symetrická. Radši ji překreslím, je docela ošklivá. Ta vypadá lépe. Tohle by měl být graf obyčejné x², ale pro x = 2 to x² není. V bodě x = 2 bychom měli mít maličkou nespojitost, takže si tu nechám místo, protože dle definice funkce, když x = 2, je funkce rovna 1. Nebudu je dělat ve stejném měřítku. V grafu x² by tohle bylo 4 a tohle 2, a tady by byla 1, a zde 3. Takže pro x = 2 je naše funkce rovna 1. Je to trochu zvláštní funkce, ale můžete si ji tak zadefinovat. Funkci si můžete zadefinovat jak chcete. Teď si všimněte, že je to vlastně graf funkce g(x) = x² kromě x = 2, tam má mezeru, když x = 2 nepoužijete funkci g(x) = x², ale použijete g(x) = 1. Pokud jsem říkal f(x), omlouvám se za matení. Použijete g(x) = 1 jen a právě tehdy, pokud je ,x' přesně 2. Pak zase pokračuje jako g(x) = x². Povšimněme si několika věcí. Když budu vyhodnocovat funkci g(2), podívám se na definici funkce a použiji ji. A ta mi říká, že to je rovno 1. Ale položme si zajímavější otázku: Jakou hodnotu má limita funkce g(x), když se ,x' blíží ke dvěma? Všimněte si toho zápisu, vypadá složitě, ale je vlastně velmi jednoduchý. Zápis říká: „Když se ,x' blíží ke 2, k čemu se přibližují hodnoty funkce g(x)?“ … to není přesná definice, tu si uvedeme v jednom z dalších videí… „Když jde ,x' blíže a blíže ke 2, k čemu se přibližují hodnoty funkce g(x)?“ Nejdříve za ,x' dosadíte 1,9, pak 1,999 a pak 1,999999, jakých hodnot nabývá g(x), k čemu se blíží? Pokud se budete blížit zprava, jakou hodnotu má funkce v g(2,1), g(2,01)? A co g(2,001)? K čemu se to blíží, když se dostáváme blíže k 2? Můžete to vyčíst z grafu. Jak se ,x' přibližuje k 2, Jak se ,x' přibližuje k 2, blížíme se ke 4. Ačkoliv to není ta hodnota jakou má funkce v tomhle bodě. Ta spadla na 1. Limita funkce g(x) pro ,x' jdoucí ke 2 je rovna 4. Můžete si to zkusit na kalkulačce. Udělejme to, myslím že to je zajímavé. Vytáhnu kalkulačku, mou osvědčenou TI-85. Takže, k čemu se to bude blížit, když se budu blížit k x = 2? Vyzkoušíme 1,9. Pro x = 1,9 použijeme tuto horní definici. Přímo zde, máte 1,9² a dostáváte 3,61. Co když půjdeme ještě blíže ke 2? Například 1,99, umocníme, a jsem na 3,96. A když zkusíme 1,999, a umocníme. Dostávám se na 3,996. Všimněte si, jsem čím dál tím blíže k našemu bodu. A teď hodně blízko, 1,999999999999². Co dostanu? Nebude to přesně 4. To jen kalkulačka takhle zaokrouhlila, protože dostaneme číslo opravdu blízko 4. Zkusíme to z pravé strany. A bude to muset být to samé číslo, jako když jsme se blížili zleva. Takže, když zkusíme 2,1², dostáváme 4,4. Přeskočíme několik kroků. 2,0001². Tohle je o hodně blíže ke 2. A dostáváme se také o hodně blíže ke 4. Takže čím jsme blíže na ose x ke 2, tím blíže se na ose y dostáváme ke 4. Takže jsem si ověřili, že limita funkce g(x), když ,x' jde ke 2 z obou stran … tedy kromě přesné 2, kde je funkce rovna 1, protože je nespojitá… tak limita je rovna 4.
video