Limity
Přihlásit se
Limity (6/19) · 5:16

Určení jednostranných limit z grafu 2 Znovu máme graf funkce. Dále máme zadaných několik možností vyjadřující hodnoty limit v určitých bodech na funkci. Naším úkolem je usoudit, která z nich jsou pravdivá.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Takže tady máme graf funkce f(x) a tady máme několik tvrzení o limitě f(x) pro x jdoucí k různým hodnotám. A nyní budu chtít zjistit, která z těchto tvrzení jsou pravdivá a která ne. Podívejme se na první tvrzení: Limita f(x) v bodě 1 zprava je rovna 0. Je to tedy pravda, nebo ne? Tak se na to podíváme. Mluvíme o x, které se blíží 1 zprava, tedy jsou to hodnoty větší než 1. Takže jak se x blíží k 1 zprava, čemu se rovná f(x)? Když x je, dejme tomu, 1 a 1/2, f(x) je tady nahoře. Jak se x blíží k 1, f(x) zůstává rovno 1. Takže jak se x blíží k 1 zprava, vypadá to, že limita... ...vypadá to, že limita f(x) pro x jdoucí k 1 zprava není 0. Zdá se, že je to 1. Takže ne, tohle není pravda. Toto by bylo pravda, kdybychom místo <i>zprava</i> použili <i>zleva</i>... Zleva to opravdu totiž vypadá... ...hodnota funkce vypadá, že se opravdu blíží 0. Takže pro x jdoucí k 1 zleva, když x je tady... toto je f(x)... ...když x je tady, toto je f(x)... ...když x je tady, toto je f(x)... Vidíme, že hodnota f(x) se zdá být blíž a blíž k 0. Takže toto by bylo pravdivé, kdybychom se blížili zleva. Další otázka: Limita f(x) pro x jdoucí k 0 zleva je stejná jako limita f(x) pro x jdoucí k 0 zprava. Je to pravda? Dobrá, podívejme se. Naše funkce f(x), když se blížíme k 0 zleva… Použiji novou barvu... Když se blíží k 0 zleva. Tady je naše hodnota f(x). Když se blížíme, toto je hodnota f(x). Když se ještě více blížíme, toto je hodnota f(x). Zdá se, že zleva se f(x) blíží k 1. Když x je větší než 0… Zkusme to. Takže x bude třeba jedna polovina, toto je pak f(x). Když x bude jedna čtvrtina, toto je naše f(x). Když x není o moc větší než 0, toto je f(x). Takže se taky zdá, že se f(x) blíží k 1. Vypadá to, že je to pravda. Obě dvě se blíží k 1. Limita je rovna 1, takže je to určitě pravda. Teď se podívejme na toto tvrzení: Limita f(x) pro x jdoucí k 0 zleva je rovna 1. O tom už jsme mluvili. Limita f(x) pro x zleva... Limita f(x) pro x jdoucí k 0 zleva... Vidíme, že když se x blíží k 0, f(x) se blíží víc a víc k 1. Takže je to pravda. Limita f(x) pro x jdoucí k 0 existuje. Tedy, určitě existuje, už jsme totiž řekli, že se rovná 1. Takže je to pravda. A teď, limita f(x) pro x jdoucí k 1 existuje. Je to pravda? No, už jsme si ukázali, že když se blížíme k 1 zprava, zdá se, že limita je 1. ...když x je 1 a jedna polovina, máme f(x) rovno 1. Když x je o trochu větší než 1, je to stále 1. Takže se zdá, že se blížíme víc a víc k 1. ...jenom to zapíšu... Limita f(x) pro x jdoucí k 1 zprava je rovna 1. No a jaká je limita... ...limita f(x) pro x jdoucí k 1 zleva? No, tady je naše f(x)... ...tady je naše f(x)... Zdá se, že f(x) se blíží k 0, jak se blížíme k 1 zleva. Takže zde se rovná 0. Takže limita zprava má jinou hodnotu než limit zleva, takže ta limita neexistuje. Takže toto není pravda. A nakonec, limita f(x) pro x jdoucí k 1,5 je rovna 1. Takže tady. Takže zatím jsme se dívali na body nespojitosti nebo body, kde funkce není definována. Ale teď jde o úplně normální bod. Když x je rovno 1,5... Což je tady. Toto je f(1,5)... Toto je ten bod. Tedy, tohle je hodnota f(1,5). Mohli bychom říct f... ...vidíme, že f(1,5) je rovno 1. Takže tady je bod [1,5;1]. A když se k němu blížíme zleva, z hodnot nižších, je to 1, limita se zdá být rovna 1. A když se blížíme zprava, limita se zdá být rovna 1. Takže je to celkem snadné. Tady je graf spojitý a když pouze v bodě nahradíme… Nebo když se prostě na graf podíváme, limita je zde hodnota funkce. Takže nepotřebujeme, aby funkce nebyla definována, abychom našli limitu. Je to tedy pravda, limita f(x) pro x jdoucí k 1,5 je rovna 1.
video