Limity
Přihlásit se
Limity (9/19) · 5:44

Určení limity z funkčního předpisu Ukážeme si, že někdy je třeba si funkční předpis upravit, abychom mohli určit limitu v daném bodě. Výsledek si ukážeme graficky i numericky pomocí kalkulačky.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Řekněme, že f(x) je rovno (x na druhou plus x minus 6) lomeno (x minus dvě) A nyní nás zajímá, čemu se rovná limita f(x) pro ‚x‘ blížící se ke 2. První věc, kterou byste měli udělat, je podívat se, čemu je rovno f(2). To se nebude vždy rovnat té limitě, ale je to dobré místo, kde začít, a podívat se, zda se neobjeví něco rozumného. Takže určíme hodnotu f(2): v čitateli dostaneme (2 na druhou) plus 2 minus 6. Takže 4 plus 2 minus 6, v čitateli tedy máme 0, a zároveň dostaneme 0 i ve jmenovateli. Nemáme tedy nic, funkce není definována. Píšeme: f není definováno. Nebude to tedy jednoduchá věc. Dokonce i kdyby byla definována, limita stejně může být cokoli jiného, bez ohledu na funkci. Ale to nás netrápí, v našem případě jasně vidíme, že funkce zde není definovaná. Podívejme se tedy, zda to jde zjednodušit. A taky zkusíme udělat graf. Mohlo by vás napadnout rozložit čitatel na součin. Takže to přepíšeme a zopakujeme si základy algebry. Dvě čísla jejichž součin je −6 a jejichž součet je +3 To můžou být +4 a −2. Takže to může být (x + 3) krát (x − 2) lomeno (x − 2). Pokud ‚x‘ není rovno 2, tyhle dvě závorky se vykrátí. Můžeme tedy říct, že výraz je roven (x + 3) pro všechna ‚x‘ s výjimkou 2. Tohle je další možnost, jak se na to můžeme dívat. Teď přepíšeme f(x), použiju modrou pro zvýraznění. Můžeme teda přepsat f(x)... Je to přesně ta samá funkce. f(x) = (x plus 3), když se ‚x‘ nerovná 2. Můžeme také říct, že f(x) není definováno pro x se rovná 2. Díky této definici nám bude jasnější, jak můžeme nakreslit f(x). Pojďme to tedy zkusit. Tohle není moc pěkná čára. Tak, tohle je mnohem lepší. Pojmenujeme ji <i>osa y</i>, kde y = f(x) Teď uděláme horizontální čáru, která bude osou x. Definováno tímto způsobem, f(x) = x plus 3. Jestli tohle je 1, 2, 3... Máme průsečík s osou y v bodě 3, a směrnice přímky je 1. Ale funkce je definována pro všechna ‚x‘ s výjimkou x = 2. Zde je x = 1, zde x = 2. Když je x = 2, není funkce definována. Přímo tady. Funkce v tom bodě není definována. Takto tedy vypadá f(x). Nyní, pomocí tohoto pojďme zodpovědět naši otázku. Jaká je limita funkce f(x) pro ‚x‘ blížící se ke 2? Můžeme se na to podívat pomocí našeho grafu. Jak se ‚x‘ blíží k 2 z nižších hodnot než 2... (Tohle je x = 2) Pokud se dostaneme sem, řekněme, že je to 1,7, vidíme, že naše f(x) je tady. Když se dostaneme k 1,9, naše f(x) je zde. Vypadá to že se blíží této hodnotě, kterou vidíte zde. Stejně tak, jako se blížíme k 2 z větších hodnot, Tohle může to být kolem 2,5 naše f(x) je tadyhle. Když se dostáváme blíže k 2, naše f(x) se nachází zde. A ještě jednou, vypadá to, že se blížíme k této hodnotě. Nebo také, když jdeme po této přímce z kladného směru, vypadá to, že se blížíme k hodnotě f(x). Když jdeme po této přímce ze záporného směru, z hodnot menších než 2 tak to vypadá že se blížíme k hodnotě kterou vidíte tady. A tohle je v podstatě hodnota (x plus 3) když jsme ‚x‘ dali do rovnosti s 2. Tohle v podstatě bude hodnota tady, která je rovna 5. Když se podíváme na příklad pomocí grafu.. Když si jen nakreslíme přímku se směrnicí 1 s průsečíkem s osou y v 3, hodnota v tomto bodě je 5. Nyní to můžeme zkusit řešit numericky. Pojďme se do toho tedy pustit. Když toto je definice naší funkce úplně stejná jako naše původní definice, tak zkusíme hodnoty, pro které se ‚x‘ blíží více a více k 2. Zkusme tedy hodnoty menší než 2. 1,99999 1,99999 plus 3, což je poměrně blízko k 5. Když přidám ještě další 9 nakonec čísla, tím se dostaneme ještě blíže 2. dostaneme se ještě blíže k 5. Pokud se blížíme k 2 z kladného směru.. Ještě jednou se blížíme více a více k 5 z kladného směru. Když se blížíme ještě více k 2, budeme ještě blíže k 5. Takže ať se na to podíváme numericky, nebo graficky, vidíme poměrně jasně, že limita v tomto bodě bude rovna 5.
video