Limity
Přihlásit se
Limity (5/19) · 9:11

Určení jednostranných limit z grafu Ukážeme si, co jsou to jednostranné limity (takzvaná limita zprava a limita zleva) a proč si často budeme přát, aby měly stejnou hodnotu.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Uvažme, k jaké hodnotě se bude funkce f(x) blížit, když se budeme blížit k x = 2 z hodnot menších nežli x = 2. Představme si, jak se x = 2 blížíme: x = 1; x = 1,5; x=1,9; x = 1,999; x = 1,999999999 K jaké hodnotě se funkce f(x) blíží? Jak vidíme, zdá se, že se funkční hodnota blíží k této hodnotě. Zdá se, že se blíží k 5. To zapíšeme následovně: Limita funkce f(x) v bodě "x", když se "x" blíží k 2 a musíme upřesnit směr, ze kterého se blížíme, když se "x" blíží k 2 ze záporna, píšeme horní index mínus za 2, abychom označili směr blížení. Toto není číslo −2. Mínus pouze označuje směr, ze kterého se k 2 blížíme. Blížíme se k 2 z hodnot menších nežli 2. Blížíme se k 2, ze záporné strany: 1,9; 1,99; 1,99999 Když se "x" blíží těmto hodnotám, k jaké hodnotě se blíží funkce f(x) ? A vidíme, že se blíží k 5. Přirozeně bychom se nyní měli zeptat, jaká je limita funkce f(x), když se "x" blíží k 2 z hodnot větších nežli je 2? V takovém případě píšeme do horního indexu plus. Takže nyní se budeme blížit k x = 2, ale z tohoto směru: x = 3; x = 2,5; x = 2,1; x = 2,01 x = 2,00001, budeme se blížit x = 2 z hodnot větších nežli 2. Když se x = 3, hodnota funkce f(x) je zde, když se x = 2,5, hodnota funkce f(x) je zde, když se x = 2,01, hodnota funkce f(x) je zde. V této situace se funkce f(x) blíží hodnotě 1, byť se do této hodnoty nikdy nedostane. Funkce je pak nespojitá. Zdá se, že toto je limitní hodnota, k níž se blížíme, když se přibližujeme k 2 z hodnot větších než 2. Jednostranná limita z kladné strany se tedy rovná 1. Zamyslíme-li se o limitách obecně, limita v bodě 2 může existovat pouze tehdy, je-li hodnota obou jednostranných limit stejná. V tomto případě tomu tak není. Když se k 2 blížíme z hodnot menších než 2, funkce, zdá se, se blíží k 5. A když se blížíme k 2 z hodnot větších než 2, funkce se, zdá se, blíží 1. Takže v tomto případě limita funkce f(x), když se "x" blíží k 2 ze záporné strany, se nerovná limitě funkce f(x), když se "x" blíží k 2 z kladné strany. A vzhledem k tomu, že se tyto jednostranné limity nerovnají, limita neexistuje. Limita funkce f(x), když se "x" blíží k 2, neexistuje. Aby limita existovala, tyto dvě hodnoty by se musely rovnat. Například, kdybychom měli zjistit, jaká je limita funkce f(x), když se x blíží k 4? Podívali bychom se na dvě jednostranné limity: jednostrannou limitu ze záporné strany a jednostrannou limitu z kladné strany. Takže, limita funkce f(x), když se "x" blíží k 4 ze záporné strany. Pojďme si to nakreslit. Zajímá nás příblížení k x = 4; Jdeme k x = 4 ze záporné strany, takže: pro x = 3, funkce f(x) nabývá hodnoty 2, pro x = 3,5, funkce f(x) nabývá této hodnoty, pro x = 3,9, funkce f(x) nabývá této hodnoty, atd. čím dál více se přibližujeme k hodnotě funkce f(x) −5. Takže to je limita, když se blížíme k 4 ze záporné strany, jednostranná limita z levé strany, se bude rovnat −5. A kdybychom měli zjistit limitu funkce f(x), když se "x" bude blížit k 4 z kladné strany, z hodnot "x" větších než 4, opět... pro x = 5, funkce f(x) nabývá této hodnoty, pro x = 4,5, funkce f(x) nabývá zhruba této hodnoty, pro x = 4,1, funkce f(x) nabývá této hodnoty, pro x = 4,01 jsme zhruba tady. Funkce f(x) je v bodě 4 definovaná a má stejnou hodnotu, k jaké se blížíme. A opět vidíme, že se blížíme k −5. I kdyby funkce f(x) nebyla definovaná v bodě 4 ani z jedné strany, blížili bychom se −5. Toto se také blíží −5. A jelikož jednostranná limita zleva se rovná jednostranné limitě zprava, ..tedy tyto dvě limity jsou si rovny.. A protože jsou si tyto dvě limity rovny, víme, že limita funkce f(x), když se "x" bude blížit k 4, je rovna 5. Podívejme se na několik dalších příkladů. Uvažujme limitu funkce f(x), na obrázku máme novou funkci f(x), když se "x" bude blížit 8. Přibližme se k 8 zleva, "x" se blíží 8 z hodnot menších než 8. Čemu se toto bude rovnat. Pozastavte si toto video, a zkuste na to přijít sami. Takže, "x" se blíží k 8, a tedy: x = 7; hodnota funkce f(x) je zde, x = 7,5; hodnota funkce f(x) je zde, Takže se zdá, že hodnota naší funkce f(x) se blíží k 3. Takže se zdá, že limita funkce f(x), když se "x" blíží k 8 ze záporné strany, je rovna 3. Jak je tomu z kladného směru? Jaká je limita funkce f(x), když se "x" blíží k 8 z kladného směru, neboli, jinak řečeno, zprava? Je-li x = 9; hodnota f(x) se nachází zde, je-li x = 8,5; hodnota f(x) se nachází zde. Zdá se, že se blížíme k hodnotě 1 funkce f(x). Všimněme si, že tyto dvě limity jsou rozdílné. Oboustranná limita tedy neexistuje pro "x" blížící se k 8. Napišme si to. Limita funkce f(x), když se "x" blíží 8 ..jelikož tyto dvě hodnoty se nerovnají.. neexistuje. Ukažme si ještě jeden příklad. Máme v něm odpovědět na otázku. Funkci f(x) máme nakreslenou níže. Jaká je hodnota jednostranné limity, limity funkce f(x), toto je funkce f(x), když se "x" blíží k −2 ze záporné strany? Toto je −2 ze záporné strany. Nás zajímá, co se děje, když se "x" blíží k −2. Vidíme, že funkce f(x) zde není definovaná. Podívejme se, co se stane, když se budeme blížit zleva, neboli když se budeme blížit z hodnot menších než −2. Když se budeme blížit zleva, pro x = −4 je funkční hodnota zde. Toto je hodnota funkce f(x) pro x = −4. Pro x = −3 je hodnota funkce f(x) zde. Pro x = −2,5 se hodnota funkce f(x) zdá být zde. Zdá se, že se blížíme k hodnotě 4 funkce f(x). Řekl bych tedy, že to vypadá, alespoň graficky, že limita funkce f(x), když se "x" blíží k 2 ze záporného směru, je rovna 4. Kdybychom uvažovali limitu funkce f(x), když se "x" blíží −2 z kladného směru, získali bychom podobný výsledek. Přibližme se tedy: x = 0, hodnota funkce f(x) je zde, x = −1, hodnota funkce f(x) je zde, x = −1,9, hodnota funkce f(x) je zde, Takže se opět blížíme 4. Jednostranná limita zprava a zleva mají stejné hodnoty. Obě jednostranné limity se blíží ke stejné hodnotě, můžeme tedy říct, že limita funkce f(x) existuje, pro "x" blížící se −2, a to z obou směrů. Ježto máme z obou směrů stejnou limitní hodnotu, můžeme říct, že zde existuje limita. Tato limita se rovná 4.
video