Hlavní obsah
Kurz: Diferenciální počet > Kapitola 1
Lekce 9: Věta o dvou policajtechÚvod do věty o dvou policajtech
Věta o dvou policajtech nám říká, že když pro všechna čísla x platí f(x)≤g(x)≤h(x) a pro nějaké x=k nastává rovnost f(k)=h(k), tak se g(k) musí rovnat hodnotám f(k) a h(k). Tuto větu můžeme použít k určení komplikovanějších limit jako je limita sin(x)/x pro x blížící se k 0. Výraz sin(x)/x si v takovém případě shora a zdola omezíme "hezčími" funkcemi, které použijeme k určení limity pro x blížící se k 0. Tvůrce: Sal Khan.
Chceš se zapojit do diskuze?
Zatím žádné příspěvky.
Transkript
Nyní si řekneme o jedné z mých
nejoblíbenějších matematických vět, a to je věta o sevření. Jeden z důvodů, proč je to jedna
z mých oblíbených vět, je ten, že v názvu obsahuje „sevření", což je slovo,
které se v matematice moc neobjevuje. Ale toto pojmenování je výstižné. V jiných jazycích se této větě
říká i „sandwich theorem", což je také výstižné pojmenování,
jak uvidíme za chvíli. A protože se tomu může
říkat i „sandwich theorem", zamysleme se nejdřív
nad analogií, abychom získali představu o
této větě o sevření. Řekněme, že jsou tři lidé. První se jmenuje Imran, další je Diya
a poslední je Sal. Řekněme, že Imran má v jakýkoliv
den nejnižší počet kalorií. A Sal má každý den nejvyšší počet kalorií. Každý den můžeme říct,
že Diya sní nejméně tolik, jako Imran. Dále můžeme říct, že
Sal sní aspoň tolik... ....toto pouze opakuje slova
na vrchním řádku...jako Dyia. Můžeme napsat
jednoduchou nerovnost. V daný den můžeme napsat, že tento den bude Imranových kalorií méně
nebo rovno kalorií Diy ve stejný den, kterých zase bude méně
nebo rovno Salovým kaloriím tento den. Nyní řekněme, že je úterý. Představme si, že v úterý zjistíte,
že Imran snědl 1 500 kalorií a ve stejný den také
Sal snědl 1 500 kalorií Na základě toho,
kolik kalorií musela ten den sníst Diya? Víme, že každý den sní
aspoň tolik, kolik Imran, takže snědla 1 500 kalorií nebo více. Ale také každý den sní méně nebo
rovno počtu kalorií, které sní Sal. Musí to být méně
nebo rovno 1 500. Ale je jenom jedno číslo,
které je větší nebo rovno 1 500 a zároveň menší nebo rovno než 1 500
a to je 1500 kalorií. Takže Diya musela sníst 1 500 kalorií. To dává dobrý smysl. Diya musela sníst 1 500 kalorií. A věta o sevření je v podstatě matematická
verze tohoto příkladu pro funkce. Můžeme se na Imranovy kalorie
podívat, jako na funkci dne. Na Salovy kalorie, jako
na funkci dne. A Diyainy kalorie, jakožto funkce dne,
budou vždycky mezi těmito dvěma. Nyní udělejme toto
trochu matematičtěji. Toto teď vymaži,
abychom měli místo na matematiku. Řekněme, že máme podobný příklad. Máme tři funkce. Řekněme, že funkce f(x)
na nějakém intervalu je vždy menší nebo rovna
než funkce g(x) na tomtéž intervalu, která je vždy menší nebo rovna
funkci h(x), opět na stejném intervalu. Nyní to ukáži graficky. Toto je moje osa y.
Toto je moje osa x. Vyberu si nějaký interval na ose x. Řekněme, že funkce h(x)
vypadá nějak takto. Uděláme to zajímavější. Toto je osa x. Takže funkce h(x)
vypadá nějak takto. Toto je moje h(x). Nyní funkce f(x)
vypadá nějak takto. Může dělat něco zajímavého,
najednou klesá, potom stoupá, nějak takto,
tudíž f(x) vypadá takto. A nyní funkce g(x), v každém bodě je hodnota g(x)
v tomto bodě mezi těmito dvěma. Nyní je myslím vidět,
kde se nachází sevření, či sendvič. Kdyby h(x) a f(x) byly krajíce chleba,
pak by g(x) bylo maso mezi nimi. Vypadalo by to nějak takto. Nyní, řekněme, že víme...Toto
je analogie příkladu před chvílí. Nějaký konkrétní den, Sal i
Imran snědli stejné množství. Pro nějakou konkrétní hodnotu ‚x‛, se f(x) a h(x) v tomto
bodě ‚x‛ blíží stejné limitě. Vezměme si toto ‚x‛ někde tady. Řekněme, že naše hodnota ‚x‛ je toto ‚c‛. A řekněme, že limita f(x)
když se ‚x‛ blíží ‚c‛, je rovna ‚L‛. Dále i limita h(x), když se
‚x‛ blíží ‚c‛, je také rovna ‚L‛. Všimněme si, že když se ‚x‛ blíží ‚c‛,
hodnota h(x) se blíží k ‚L‛. Když se ‚x‛ blíží ‚c‛ z libovolné
strany, hodnota f(x) se blíží k ‚L‛. Takže tyto limity musí existovat. Tyto funkce nemusí být definovány
přímo v ‚c‛. Musí být pouze definovány
na nějakém intervalu kolem ‚c‛. Ale na tomto intervalu to musí platit. Pokud limity tady jsou definovány
a protože víme, že funkce g(x) je stále
sevřená mezi těmito dvěma, potom, pro ten konkrétní den
nebo v tom konkrétním bodě, jako v příkladě s jídlem, nám to říká, že pokud toto
všechno platí na tomto intervalu, potom limita g(x), když se ‚x‛ blíží ‚c‛,
musí být také ‚L‛. A opět, toto dává smysl. f(x) se blíží k ‚L‛,
h(x) se blíží k ‚L‛ a g(x) je sevřená mezi nimi,
tudíž se také musí blížit k ‚L‛. Můžete si říct, že to je jasné.
Proč se to používá? Uvidíte, že se to hodí k hledání
limit různých nezvyklých funkcí. Když umíte najít funkci,
která je vždy větší než ona a funkci, která je vždy menší a tyto funkce mají
v nějakém bodě stejnou limitu, potom víte, že nezvyklá funkce mezi nimi
bude mít v tomto bodě stejnou limitu.