Limity
Přihlásit se
Limity (11/19) · 5:08

Základní vlastnosti limit Ukážeme si pravidla hry, abychom byli schopni vypočítat i složitější limity. Konkrétně se naučíme vzorce pro součet, rozdíl, součin a podíl limit.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
V tomto videu vám chci ukázat několik vlastností limit, ale nebudeme je dokazovat... ..abychom získali důkazy těchto vlastností potřebujeme pevnou definici limity a to nebudeme dělat v tomto cvičení... To uděláme v cvičení o epsilon-delta definici limit... Přesto by měla být většina intuitivní a budou velmi užitečná pro zjednodušování příkladů v budoucnosti. Řekněme, že limita nějaké funkce f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, je rovna L a řekněme, že také víme, že limita nějaké jiné funkce, řekněme třeba g(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, je rovna M. Když víme toto, jaká bude limita f(x) plus g(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛? Můžete se na to podívat graficky... Když se podíváte na grafy dvou libovolných funkcí, jednoduše obě funkce sečtete. Bude proto jasné, že toto bude rovno... ...a ještě jednou, nedělám teď důkaz. Jen vám tady ukazuji vlastnosti. Toto bude limita f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛ plus limita funkce g(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛ což je rovno...a to je přesně tady... ...Uděláme to stejnou barvou... Tady toto je rovno L. Bude to rovno L plus M. Nic těžkého. Tomuto se často říká součet limit nebo také věta o limitě součtu. Můžeme vymyslet podobnou s odčítáním. Máme limitu, kde ‚x‛ se blíží ‚c‛ funkcí f(x) minus g(x), což bude L minus M. Je to limita funkce f(x), kde ‚x‛ se blíží ‚c‛ minus limita funkce g(x), kde ‚x‛ se blíží ‚c‛. Takže to bude L minus M. Tomuto se často říká rozdíl limit nebo věta o limitě rozdílu. Doufám, že je toto dostatečně intuitivní. Co se stane, když použijete součin limit? Limita f(x) krát g(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛? Naštěstí pro nás to bude rovno limitě f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛ krát limita g(x), kde se ‚x‛ blíží do ‚c‛. Naštěstí pro nás, toto je opět poměrně intuitivní vlastnost limit. V tomto případě to bude rovno L krát M. Bude to jednoduše L krát M. Totéž i v případě, kdybychom tady měli místo funkce konstantu. Kdybychom měli limitu... ...Udělám to stejnou barvou... ...limitu k krát funkce f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, kde ‚k‛ je jen konstanta. Tak to bude totéž, jako k krát limita f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, a to bude rovno L. Toto je rovno L, takže se celý výraz zjednoduší na (k krát L). Totéž můžeme dělat s podílem... ...Tomuto se často říká věta o reálném násobku... ...Můžeme udělat totéž s podílem. Když máme limitu, kde se ‚x‛ blíží do ‚c‛ funkce f(x) děleno funkcí g(x), tak to je přesně totéž, jako limita f(x), kde ‚x‛ se blíží do ‚c‛ dělená limitou funkce g(x), kde se ‚x‛ blíží do ‚c‛ což bude rovno... ...myslím, že už to víte... ...bude rovno L lomeno M... A konečně...tomuto se někdy říká podíl limit. Nakonec se podíváme na umocňování limity. Když máme limitu... ...napíši to takto... ...limitu f(x) na nějakou mocninu ...napíši to, jako lomenou mocninu... ...mocnina ‚r‛ lomeno ‚s‛, kde ‚r‛ i ‚s‛ jsou celá čísla. Pak limita funkce f(x) na ‚r‛ lomeno ‚s‛, kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, bude úplně totéž, jako limita f(x), kde se ‚x‛ blíží ‚c‛, umocněna ‚r‛ lomeno ‚s‛. Ještě jednou, když ‚r‛ i ‚s‛ jsou celá čísla a ‚s‛ není rovno 0, jinak by tato mocnina nedával smysl. A toto je to stejné... Toto je totéž, jako L na ‚r‛ lomeno ‚s‛. Použitím těchto vlastností můžeme najít limity mnoha funkcí. A hezké na tom je to, že vlastnosti limit jsou věci, které byste přirozeně chtěli dělat a po náčrtu těchto funkcí, to bude celkem intuitivní.
video