Limity
Přihlásit se
Limity (8/19) · 6:20

Určení jednostranných limit z funkčního předpisu Máme zadanou lomenou funkci s absolutní hodnotou, která není spojitá. V bodě nespojitosti vypočítáme jednostranné limity.

Navazuje na Posloupnosti a řady.
Řekněme, že f(x) se rovná absolutní hodnotě z (x minus 3) lomeno (x minus 3) a já chci znát limitu f(x), pro ‚x‘ jdoucí k 3. Lehko můžeme vidět, že funkce není definovaná v bodě, kde je ‚x‘ rovno 3. Dostaneme výraz (0 lomeno 0), který není definován. Abychom vyřešili tento problém, přepišme tuto funkci trochu jinak. Řekněme, že f(x) se bude rovnat ...a teď to rozdělím na dva případy: Na případ, když je ‚x‘ větší než 3 a když je ‚x‘ menší než 3. Udělám to ve dvou barvách. Když je ‚x‘ větší než 3, jak se nám funkce zjednoduší? Ať dosadím cokoliv, dostanu nahoře kladnou hodnotu. Když vezmu absolutní hodnotu, bude to to samé. Pro ‚x‘ větší než 3, to bude vždy (x minus 3) lomeno (x minus 3), protože když ‚x‘ je větší než 3, čitatel bude kladný. a pokud vezmeme absolutní hodnotu, nezmění se nám znaménko. Takže dostaneme tento výraz, nebo, po přepsání se to bude rovnat 1. Tedy pro ‚x‘ větší než 3. Podobně, podívejme se, co se stane, když je ‚x‘ menší než 3. Když je ‚x‘ menší než 3, potom (x minus 3) bude záporné číslo. Když vezmeme jeho absolutní hodnotu, potom ho převrátíme; Takže to bude minus (x minus 3) lomeno (x minus 3) anebo, pokud to máme zjednodušit, pro každou hodnotu menší než 3 se tato část zjednoduší na 1, takže nám zbude −1. −1 pro ‚x‘ menší než 3. Jestli mi nevěříte, zkuste to s konkrétními čísly. Vyzkoušejte pár čísel: 3,1; 3,001; 3,5; 4; 7 Pro jakékoli číslo větší než 3 dostanete 1. Dostanete stejný výraz děleno stejným výrazem. A teď zkuste hodnoty menší než 3. Vždy dostanete −1, ať dosadíte cokoliv. Načrtněme si teď tuto funkci. Takže nakreslíme osy, osa x, osa y se rovná f(x). Zajímá nás ‚x‘ rovno 3. Takže ‚x‘ se rovná 1, 2, 3, 4, 5... můžeme pokračovat... a řekněme tohle je 1, 2, takže ‚y‘ je rovno 1 tohle je ‚y‘ rovno −1 a −2 a můžeme pokračovat... Takže tímto způsobem jsme přepsali funkci. Je to úplně stejná funkce, jenom jsme ji napsali jiným způsobem. A říkali jsme, že naše funkce není definovaná v bodě ‚x‘ rovno 3 Pokud je ale ‚x‘ větší než 3, naše funkce se rovná 1, Vypadá takhle a není definovaná v 3. A když je ‚x‘ menší než 3, naše funkce se rovná −1. Takže to vypadá takto. ...udělám to stejnou barvou... Ještě jednou, není definovaná v 3, takže vypadá takto. Teď hledáme odpověď na otázku: Jaká je limita pro ‚x‘ jdoucí k 3? Uvažujme limitu ze záporné strany, tedy z hodnot menších než 3. Zapsal jsem to takhle: minus jako horní index hned za trojkou. Uvažujme limitu ‚x‘ jdoucí ke 3 zleva. Začneme s hodnotami menšími než 3 a přibližujeme se blíž a blíž. Začněme řekněme v nule, f(x) se rovná −1. Jdeme k 1, f(x) se rovná −1. Jdeme k 2, f(x) se rovná −1. Jdeme k 2,999999, f(x) se rovná −1. Vypadá to, že se limita blíží −1, pokud jdeme zleva. Uvažujme limitu f(x) pro ‚x‘ jdoucí ke 3 z kladného směru, z hodnot větších než 3. Vidíme, že když se ‚x‘ rovná 5, f(x) je rovná 1. Když se ‚x‘ rovná 4, f(x) je rovná 1. Když se ‚x‘ rovná 3,0000001, f(x) je rovná 1. Vypadá to, že se hodnoty blíží 1. Takže teď tu máme zvláštní situaci. Zleva se blížíme k jiné hodnotě, než ke které se blížíme zprava. A kdy se limitně blížíme ke dvěma různým hodnotám, limita neexistuje. Takže tahle limita neexistuje, nebo jinými slovy: ...napíšu to jinou barvou, něco mě napadlo... Limita funkce f(x) pro ‚x‘ jdoucí k nějakému číslu ‚c‘ se rovná L právě tehdy, když se limita f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ zleva rovná limitě f(x) pro ‚x‘ jdoucí k ‚c‘ zprava, která je rovna L. A to se v našem případě nestalo. Limita zleva byla −1, limita zprava byla 1, Nedostali jsme stejnou limitu na obou stranách, proto v tomto případě limita neexistuje.
video