Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (7/14) · 5:39

Určování diferencovatelnosti pomocí grafu Uvedeme si případy, kdy funkce z nějakého důvodu nemá derivaci. Zároveň si to vyzkoušíme určit na konkrétních bodech na zadaných funkcích.

Navazuje na Limity II.
Je dána funkce 'f' s grafem na obrázku níže. Má svislou tečnu v bodě [3,0]. V tomto bodě je svislá tečna ke grafu. Nakreslím to. Svislou tečnu zde a vodorovnou tečnu v bodě [0,-3]. [0,-3] Má tu tedy vodorovnou tečnu. Také má vodorovnou tečnu v bodě [6,3]. V bodě [6,3], nakreslím to. Najděte všechny hodnoty 'x', ve kterých není funkce diferencovatelná. Vyberte z nabízených možností. Derivace f… Napíšu to zkratkovitě. Není diferencovatelná, pokud platí alespoň jedna podmínka: 1) Svislá tečna Proč je v bodě, kde je svislá tečna, obtížné definovat derivaci? Derivace je změna v 'y' vzhledem ke změně v 'x'. Máte-li však svislou tečnu, pak při malé změně v 'x' máte nekonečně velkou změnu v 'y', ať už kladnou nebo zápornou. To je tedy jeden z případů, kdy neexistuje derivace. V zadání máme svislou tečnu v 'x' rovno 3. Zde tedy funkce není diferencovatelná a to kvůli svislé tečně. Můžete se ptát: „Co vodorovné tečny?“ Ty jsou naprosto v pořádku. Ty totiž znamenají, že je derivace nulová. Derivace v bodě 6 je nulová. Derivace v bodě 0 je nulová. Jaké jsou další případy? Další případ, kdy derivace neexistuje, je v bodě, kde není funkce spojitá. 2) Není spojitá. To vidíme zde v bodě 'x' rovno -3, že funkce není spojitá. Funkce není spojitá v bodě 'x' rovno -3. To jsou všechny body, které nám dali k dispozici, kde funkce není diferencovatelná. Nevíme, jak se funkce chová vlevo nebo vpravo. Toto by byly zajímavé body, ale tuto možnost nám v zadání nedali. Už jsme řekli, že v 'x' rovno 0 je derivace nulová. Derivace je definována. V 'x' rovno 6 je derivace nulová. Máme vodorovnou tečnu, rovněž je zde derivace definována. Udělejme další příklad. Vlastně jsem nezmínil třetí případ, kdy máme „ostrou špičku“. 3) „Ostrá špička“ To není rigorózní definice, ale snadno to rozpoznáte. Znamená to něco takového. Nebo… to nevypadá ostře. Něco takového. Ostrá špička oproti něčemu hladkému. Proč to není diferencovatelné? Budeme-li se k tomu bodu blížit zleva, popřípadě zprava, dostaneme různé hodnoty. Sklon je zde kladný: 'x' roste, 'y' roste, kdežto zde je sklon záporný. Limity zleva respektive zprava se v tomto bodě budou lišit, proto ani derivace nemůže existovat. V tomto příkladu jsme nic takového neměli. Udělejme další příklad. Tento graf nějaké ostré body má, to bude zajímavé. Je daný graf funkce 'f'. Má svislou asymptotu v bodě 'x' rovno -3, to vidíme, vodorovnou asymptotu v bodě 'y' rovno 0. Tento konec grafu, zdá se, pro 'x' jdoucí k minus nekonečnu, vypadá to, že se 'y' blíží 0. Další vodorovnou asymptotu má pro 'y' rovno 4. Pro 'x' jdoucí k plus nekonečnu se zdá, že graf klesá k 'y' rovno 4. Označte z nabídky hodnoty 'x', pro která není funkce diferencovatelná. Nejdříve tedy svislé tečny. Zdá se, že tu žádné nejsou. Tak tedy hledejme nespojitosti. Funkce rozhodně není spojitá zde, kde máme tuto svislou asymptotu. Funkce není spojitá v bodě 'x' rovno -3 a také v bodě 'x' rovno 1. Poslední případ, kdy funkce není diferencovatelná, nastává pro „ostré špičky“ grafu. Jeden takový bod vidím zde. Jak se blížíme zleva, sklon vypadá jako konstanta. Přibližně jako plus (3 lomeno 2). Zatímco vpravo je sklon záporný. Pokud bychom chtěli najít limitu, což je v podstatě derivace… Nebude definována, neboť se jednostranné limity liší. 'f' není diferencovatelná v bodě 'x', kde je tento ostrý bod. Pokud byste chtěli derivaci nakreslit, což uděláme v dalších videích, uvidíte, že v tomto bodě není spojitá. Označím to. Zkontrolujme bod 'x' je rovno 0. Bod 'x' rovno 0 je úplně v pohodě. Jsme v bodě, kde není svislá tečna, funkce je zde určitě spojitá, není tu ani žádný „ostrý bod“. Bod 'x' rovno 0 je úplně v pohodě.
video