Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (10/16) · 5:02

Testování spojitosti a diferencovatelnosti V jakém vztahu je spojitost a diferencovatelnost funkce? Na konkrétní funkci máme zjistit, zda je v daném bodě spojitá a zda v tomto bodě můžeme určit derivaci.

Navazuje na Limity II.
Je funkce daná níže spojitá a diferencovatelná v bodě x rovno 3? Funkce je definována po částech a máme na výběr: Spojitá, nediferencovatelná. Diferencovatelná, nespojitá. Diferencovatelná i spojitá. Ani spojitá, ani diferencovatelná. Jednu možnost lze ihned zahodit. Platí, že je-li funkce diferencovatelná, pak musí být i spojitá. Nelze mít diferencovatelnou, ale nespojitou funkci. Tuto možnost tedy škrtneme. Zamysleme se nad spojitostí. Pokud by nebyla spojitá, pak by nemohla být diferencovatelná. Zamysleme se nad tím. Aby byla funkce spojitá… Použiji tmavší barvu. f(3) musí být rovno limitě f(x), kde se x blíží ke 3. Kolik je f(3)? Podívejme, x je rovno 3, bereme v potaz spodní definici, 6 krát 3 je 18, 18 minus 9 je 9. Limita f(x), pro x jdoucí ke 3, musí být rovna 9. Zamysleme se nejdříve nad limitou zleva. Limita f(x), kde x jde ke 3 zleva. Je-li x menší než 3, bereme v potaz horní definici. f(x) bude 'x na druhou'. To je funkce definovaná a spojitá pro všechna reálná čísla, takže dosadíme. Bude to tedy rovno 9. Čemu se bude rovnat limita zprava? Blížíme-li se zprava, f(x) bude (6 krát x) minus 9. (6 krát x) minus 9. To je opět definované a spojité pro všechna reálná čísla, tedy jen dosadíme a dostaneme 18 minus 9. To se také rovná 9. Jednostranné limity se rovnají, limita existuje a je rovna hodnotě v daném bodě, funkce je určitě spojitá. Tuto možnost tedy můžeme rovněž vyloučit. Zamysleme se nad diferencovatelností. Aby byla funkce diferencovatelná, limita f(x) minus f(3) lomeno (x minus 3), pro x jdoucí ke 3, musí existovat. Zkusme ji tedy spočítat. Víme, kolik je f(3), to už jsme spočítali. To je rovno 9. Spočtěme tedy tuto limitu zleva a zprava, ověřme, zda se rovnají. pokud se rovnají, pak jsou rovny celkové limitě. Nejdříve spočítejme limitu zleva. (f(x) minus 9) lomeno (x minus 3). Pro limitu zleva platí: f(x) pro x menší než 3 je 'x na druhou'. 'x na druhou' minus 9… To je rozdíl druhých mocnin. [(x plus 3) krát (x minus 3)] lomeno (x minus 3). (x minus 3) se pokrátí. Pokud se x nerovná 3, pak je výraz roven (x plus 3). Což je v pořádku, neboť jde o limitu zleva. Výraz (x plus 3) je definován pro všechna reálná čísla, tedy je i spojitý, můžeme tedy dosadit. To je rovno 6. Spočtěme limitu zprava. Pro limitu zprava, x je větší než 3: f(x) je (6 krát x) minus 9. …minus f(3), což je 9. (6 krát x) minus 18. (6 krát x) minus 18. To je 6 krát (x minus 3). Blížíme-li se zprava, celý výraz bude roven 6. Zdá se, že derivace existuje, jednostranné limity se obě rovnají 6. Funkce je tedy spojitá i diferencovatelná.
video