Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (11/16) · 6:22

Testování spojitosti a diferencovatelnosti 2 Zde nás čeká naprosto stejné zadání, jako v předchozím videu. Liší se však zadaná funkce.

Navazuje na Limity II.
Je funkce zadaná níže spojitá a diferencovatelná v bodě x rovno 1? Funkce je definována po částech. Máme na výběr z možností: Spojitá, ne diferencovatelná. Diferencovatelná, ne spojitá. Spojitá i diferencovatelná. Ani spojitá, ani diferencovatelná. Jako vždy, pozastavte si video a zkuste na to přijít sami. Pojďme na to krok po kroku. Zamysleme se nejdřív nad spojitostí. Aby byla funkce spojitá v bodě x rovno 1, g(1) se musí rovnat limitě g(x), pro x jdoucí k 1. Kolik je g(1)? pro x rovno 1 bereme v potaz tento předpis. (1 minus 1) na druhou je rovno nule. Ukážeme-li, že se limita g(x), kde se x blíží k 1, rovná g(1), tedy k 0, pak je funkce spojitá. Spočtěme jednostranné limity. Uděláme-li limitu zleva, což je obzvláště užitečné, neboť máme různé předpisy funkce, pokud se blížíme zleva nebo zprava. Blíží-li se x k 1 zleva, x je menší než 1 a budeme brát v potaz horní předpis. g(x) bude tedy rovno (x minus 1). To platí pro x menší než 1, tedy pro x jdoucí k 1 zleva. Toto je definováno a spojité pro všechna reálná čísla. Dosadíme 1 za x a dostaneme nulu. Zatím dobré, pokračujme. Spočtěme limitu zprava. Blíží-li se x k 1 zprava, uvažujeme spodní předpis. Jde-li x k 1 zprava, x je větší nebo rovno 1 g(x) bude '(x minus 1) na druhou'. To je opět definováno a spojité pro všechna reálná čísla. Spojité pro všechna reálná čísla, dosadíme tedy. '(1 minus 1) na druhou'. To je opět nula. Jednostranné limity jsou obě rovny nule, což znamená, že limita g(x), pro x jdoucí k 1, je 0. Což je stejné jako g(1), funkce je tedy spojitá. Můžeme tedy vyloučit možnosti, kde funkce není spojitá. Škrtneme tyto dvě možnosti. Zamysleme se nyní nad diferencovatelností. Diferencovatelnost. Diferencovatelnost. Co musí být splněno, aby byla funkce diferencovatelná? Musí existovat limita, pro x jdoucí k 1, f(x) minus f(1) lomeno… Pozor, máme funkci 'g'. Máme tedy limitu, kde x jde k 1, [g(x) minus g(1)] lomeno (x minus 1). Spočtěme jednostranné limity. Můžeme to zjednodušit. Víme, že g(1) je rovno 0. Toto bude nula. Hledáme limitu, kde x jde k 1, g(x) lomeno (x minus 1). Nejdříve limita zleva. g(x) lomeno (x minus 1). Blížíme-li se zleva, g(x) bude rovno (x minus 1). Napíšeme to takto. g(x) je (x minus 1). (x minus 1) lomeno (x minus 1). Pokud není x rovno 1, bude to rovno… (x minus 1) lomeno (x minus 1) je rovno 1. Tato limita je rovna 1. To nám vyšlo. Zamysleme se nyní nad limitou zprava. Znovu, g(1) je rovno nule, napíšu tedy g(x) lomeno (x minus 1). Co je teď g(x)? Je to '(x minus 1) na druhou'. Píšu tedy '(x minus 1) na druhou' lomeno (x minus 1). Pokud není x rovno 1… Počítáme limitu. Blížíme se zprava. '(x minus 1) na druhou' lomeno (x minus 1), to vyjde (x minus 1). '(x minus 1) na druhou' lomeno (x minus 1) je rovno (x minus 1). Tento výraz je spojitý a definovaný pro všechna x různá od 1. Předtím to bylo '(x minus 1) na druhou' lomeno (x minus 1). Tento výraz není definován pro x rovno 1, ale je definován pro všechná x různá od 1. My se jen k 1 blížíme. Pokud bychom to chtěli zjednodušit, dostaneme… Po úpravě, kde x je různé od 1, dostaneme tento výraz. Tato limita je rovna nule! Teď můžeme 1 dosadit. Toto bude rovno 0. Všimněte si, máme různé jednostranné limity. To dává smysl! Graf by vypadal nějak takto: Máme sklon 1, bude to tedy vypadat nějak takto. V x rovno 1 je funkce rovna nule. Tady to vypadá nějak takto. Funkce je spojitá. Určitě je spojitá, ale když jsme do bodu „přicházeli“, sklon byl roven 1 a když „odcházíme“, sklon je roven 0. Funkce tedy není diferencovatelná. Je spojitá, ale není diferencovatelná.
video