Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (15/16) · 4:03

Graf funkce a její derivace - příklad Máme zadané grafy dvou funkcí. Naším úkolem je určit, která funkce je původní (primitivní) a která je její derivací.

Navazuje na Limity II.
Na obrázku máme nějakou funkci f(x) a její derivaci f´(x). Máme přijít na to, která z nich je f(x) a která f´(x). Pojďme to zkusit. Zamysleme se, co kdyby byla zelená křivka f(x)? Bude to fungovat? Pokud by zelená křivka byla f(x), mohla by být oranžová křivka f´(x)? Zamysleme se nad tím, jak se chová zelená křivka v různých bodech. Začneme-li vlevo, tečna zelené křivky má kladný sklon. Pokud by byla oranžová křivka f´(x), pokud by byla derivací zelené křivky, pak by musela nabývat kladných hodnot, neboť tečna zelené křivky má kladný sklon. Vidíme však, že není kladná. Je zcela zřejmé, že zelená křivka nemůže být f(x) a oranžová křivka nemůže být f´(x), neboť pokud by byla derivací, musela by zde být kladná. Takto jsme rychli přišli na to, že to tak být nemůže. Bude to však fungovat opačně? Zdá se… Zatím jsme jen vyloučili jednu možnost. Zdá se, že toto je f(x) a tato zelená křivka je f´(x). Ujistěme se, že to platí. Začneme vlevo, křivka, o které si myslíme, že je f(x), její tečna má kladný sklon. Odpovídá to? Jistě. Zelená křivka je kladná. Vlastně, v tomto bodě se zdá, že sklon tečny je asi 2 a půl. Opravdu to vypadá, že je sklon tečny 2 a půl. Raději to umažu, aby to nevypadalo, že beru v potaz sklon tečny derivace. Vypadá to nějak takto. Sklon tečny je přibližně 2 a půl a zdá se, že hodnota této funkce je také 2 a půl. Zelená křivka se zdá být vhodným kandidátem na derivaci oranžové křivky. Pokračujme. Zamysleme se, co se bude dít vpravo. Podívejme. Zdá se, že sklon tečny oranžové křivky… Použiji viditelnou barvu. Zdá se, že sklon tečny oranžové křivky roste. V určitém bodě dosáhne svého maxima a pak opět klesá. Sklon tečny jde až sem k nule. Popisuje to tak zelená křivka? Uvidíme. Sklon je kladný a roste do tohoto bodu, což se zdá, že odpovídá tomu, co chceme. Sklon pak zůstává kladný, ale zmenšuje se. To přesně tu vidíme. Sklon je kladný a klesá až k 0 v tomto bodě maxima. Skutečně vidíme, že je zelená křivka na nule. Vypadá to, že dobře popisuje sklon tečny k oranžové křivce. Sklon je pak zápornější až dosáhne tohoto bodu minima. Sklon má minimální hodnotu zde. Pak je opět zápornější, ale méně. Pokusím se to nakreslit. Sklon je méně zápornější, až nakonec dosáhne 0. Pak je sklon opět kladný až dosáhne maxima. Zůstává kladný, ale zmenšuje se. Zmenšuje se. Je zcela zřejmé, že oranžová křivka je grafem f(x) a zelená křivka je f´(x).
video