Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (2/16) · 7:17

Směrnice V souvislosti s derivacemi uslyšíte mnohokrát pojem směrnice, bez ní se holt neobejdeme. Pojďme si zopakovat, jak to s ní vlastně je.

Navazuje na Limity II.
Zopakujeme základní myšlenku směrnice, kterou si možná pamatujete z hodin algebry. Směrnice je míra sklonu čáry, nebo poměr změny hodnoty ‚y‘ ku změně ‚x' v každém místě na čáře. Můžete to také chápat jako míru sklonu čáry. Čím více je čára nakloněná, tím větší má směrnici. Takže toto má kladnou směrnici, ‚y‘ se se zvyšujícím se ‚x‘ zvyšuje. Kdyby se ‚y‘ zvyšovalo ještě rychleji s rostoucím ‚x‘, měla by čára větší sklon. Takže tohle je nějaká přímka. Jen pro připomenutí: dva body definují přímku a mezi těmito dvěma body můžeme zjistit míru změny ‚y‘ ku změně ‚x‘. Nakresleme si zde dva body. Řekněme že tady máme bod. Jeho x-ová souřadnice je ‚x 0‘ („x nula“) a jeho y-ová souřadnice je ‚y 0‘ („y nula“). Takže to je bod (‚y 0‘ čárka ‚x 0‘). A dejme tomu, že tady je další bod, jehož x-ová souřadnice je ‚x 1‘ a y-ová souřadnice je ‚y 1‘. Takže to je bod (‚y 1‘ čárka ‚x 1‘). Jen pro připomenutí: sklon této přímky… Přímka má podle definice konstantní sklon mezi libovolnými dvěma body. Sklon přímky, který budeme značit písmenem ‚n‘, je míra změny ‚y‘ ku změně ‚x‘. Neboli, jak moc se změní ‚y‘ při dané změně ‚x‘. Takže změna ‚y‘ dělená změnou ‚x‘. Pro připomenutí: tento trojúhelník, řecké písmeno velké delta, je značení pro změnu dané veličiny. Takže změna ‚y‘ dělená změnou ‚x‘. Podívejme se tedy, kolik to bude pro naši přímku. Nejdříve se zamysleme nad změnou ‚x‘. Pohybujeme se od ‚x 0‘ k ‚x 1‘. Takže toto je změna x-ové souřadnice. Začínáme v ‚x 0‘ a končíme v ‚x 1‘. To je změna ‚x‘, označím ji růžově. Čemu se rovná? No pokud jsme skončili tady a začali zde, jen odečteme počáteční bod od koncového. Takže ‚x 1‘ minus ‚x 0‘. Tím si zajistíme, že to bude kladné číslo. Předpokládáme, že ‚x 1‘ je větší než ‚x 0‘. A jaká je změna ‚y‘? Opět: koncová hodnota ‚y‘ minus počáteční hodnota ‚y‘. ‚y 1‘ minus ‚y 0‘. Možná se ptáte, jestli bychom to mohli udělat jako (y_0 minus y_1) děleno (x_0 minus x_1). Klidně bychom to udělat mohli, dostali bychom záporné hodnoty v čitateli i jmenovateli a ty by se vyrušily. Důležité je, abychom to dělali všude stejně. Když odečítáte počáteční hodnotu od koncové v čitateli, musíte to tak udělat i ve jmenovateli. Tohle si možná pamatuje z dřívějška. Směrnice je míra změny ‚y‘ ku změně ‚x‘. Neboli, míra změny na svislé ose ku změně na vodorovné ose. Teď vám dám takovou hádanku. Nakreslím sem další osy, abychom měli víc místa. Tady jsme měli přímku. Přímka má podle definice konstantní směrnici. Ať směrnici vypočítáte z kterýchkoliv dvou bodů na přímce, bude vždy stejná. Ale co se stane, když na scénu přijdou křivky? Když budeme mít něco, co není přímka, není to lineární křivka. Představme si nějakou takovou křivku. Jaká je míra změny ‚y‘ ku změně ‚x‘ pro tuto křivku? Podívejme se na to v různých bodech. Mohli bychom aspoň odhadnout, jaká bude směrnice v daném okamžiku. Dejme tomu, že tady máme jeden bod. Bod (x_1,y_1) A tady budeme mít další bod. Bod (x_2,y_2) Takže tady je bod (x_1,y_1) a tady (x_2,y_2). Zatím to neumíme, ale brzy budeme mít prostředky k tomu, abychom zjistili, jaká je moc se mění ‚y‘ při změně ‚x‘ přesně v tomto bodě. To ještě neumíme. Ale použitím toho, co už umíme, můžeme aspoň uvažovat nad tím, jaká je průměrná míra změny ‚y‘ na intervalu od ‚x 1‘ do ‚x 2‘. Jaká je tedy průměrná změna? Je to, jak moc se mi změnilo ‚y‘ -tohle je změna ‚y‘- při takovéto změně ‚x‘. Vypočítáme to úplně stejně: (y_2 minus y_1) děleno (x_2 minus x_1). Takže změna ypsilonu na tomto intervalu je (y_2 minus y_1) a změna ‚x‘ je (x_2 minus x_1). Takto se tedy dá spočítat průměrná míra změny mezi těmito dvěma body. Tedy průměrná míra změny sklonu křivky mezi body ‚x‘ rovná se ‚x 1‘ a ‚x‘ rovná se ‚x 2‘. Průměrná změna ‚y‘ podél ‚x‘ na tomto intervalu. Ale zároveň jsme tedy vypočítali směrnici přímky mezi těmito dvěma body. Zjistili jsme směrnici přímky definované těmito dvěma body. A jak říkáme přímce, která protíná křivku v právě dvou bodech? Říkáme ji sečna. Takže toto je sečna. Hlavní myšlenka je rozšíření pojmu směrnice. Už víme, jak najít směrnici přímky, pro křivku to ještě neumíme, to se naučíme později, v kalkulu, ale pomocí toho, co umíme, můžeme vypočítat průměrnou změnu sklonu křivky či funkce na daném intervalu. Což je to samé jako směrnice sečny procházející koncovými body intervalu. Jen abych trochu nastínil, kam směřujeme a jak dostaneme nástroj pro určení okamžité změny, ne jen průměru… Představte si, co se stane, když se budeme tímto bodem přibližovat k tomuto bodu. Pak směrnice té sečny bude čím dál lepším odhadem okamžité změny v tomto bodě. Nakonec se to změní ve směrnici tečny.
video