Derivace funkce
Přihlásit se
Derivace funkce (6/16) · 15:43

Derivace jako směrnice tečny Již jsme počítali směrnici sečny. Jak ale vypočítat směrnici tečny ke grafu v určitém bodě? Pojďme si ukázat, že pokud použijeme znalost limity, zjistíme, že to z toho přímo vyplývá.

Navazuje na Limity II.
Poprvé jsme potkali ideu směrnice přímky na začátku našich algebraických kariér. Myslím si, že bude fajn si to zopakovat. Nakreslím tedy nějaké osy. Tohle je osa y, možná bych jí mohl říkat ‚osa f(x)‘, ‚y‘ se rovná ‚f(x)‘. Nakreslím ještě osu x. Tak tohle je moje osa x. Nakreslím ještě čáru, třeba takhle. Připomeňme si: jak můžeme najít směrnici téhle čáry? Chceme najít dva body téhle čáry, třeba tenhle bod, řekněme, že tenhle bod ‚x‘ se rovná ‚a‘. Co by potom tohle bylo? To by byl bod f(a), kde funkce f je nějaká přímka. Mohli bychom to napsat tak, že f(x) se rovná mx plus b. Nevíme, kolik je ‚m‘ nebo ‚b‘. Tohle je ale jenom opakování. Takže tohle je ‚a‘. A potom hodnota na ose y je hodnota funkce f v bodě ‚a‘, to je přesně tenhle bod. A potom si vezmeme druhý bod na téhle přímce. Třeba tady bod ‚b‘. Potom tahle souřadnice nad bodem ‚b‘ bude f(b). Protože tohle je bod, který odpovídá hodnotě funkce f v bodě ‚b‘. Sem nacpeme ‚b‘, a dostaneme přesně tenhle bod. Teď sem nakreslím maličkou čáru. Takže tohle je f(b), právě tady. Vlastně bych měl ještě zdůraznit, že tenhle bod má souřadnice [a, f(a)]. Takže když máme tyhle dva body, jak najdeme směrnici přímky mezi nimi a obecně směrnici celé téhle přímky? Protože přímka má konstantní směrnici ve všech bodech. Víme, že jakmile směrnici zjistíme, tak bude přesně odpovídat hodnotě toho ‚a‘. Tohle bylo jenom opakování algebry, ale jak to uděláme? Je několik způsobů, jak to pochopit. Směrnice je to‚ jak se změní ‚y‘, když se změní ‚x‘. Možná jste to viděli v prvních lekcích algebry. Jiný způsob, jak to můžeme napsat, je změna v ‚y‘, Δy, lomeno změna v ‚x‘, Δx. Pojďme si spočítat kolik je Δy lomeno Δx v tomhle konkrétním případě. Takže ‚Δy‘ je kolik? Zkrátka si vezmeme tenhle bod jako první, nebo tohle číslo jako první. Ale protože tenhle bod má větší ‚x‘ a větší ‚y‘, začneme s ním. Takže ‚Δy‘ je tato vzdálenost. Nakreslíme si malý trojúhelník. Tato vzdálenost je ‚Δy‘. Mohl bych si ji přenést na osu y. Tohle je ‚Δy‘. Tohle je naše ‚Δy‘. Takže kolik to je? Je to f(b) minus f(a). Takže to je f(b) minus f(a). To je naše ‚Δy‘. A kolik je ‚Δx‘? Směrnice je Δy lomeno Δx. Takže kolik je ‚Δx‘? Kolik je tahle vzdálenost? Vzpomeňme si, tohle je první bod, takže jsme vzali jeho ‚y‘ minus ‚y druhého bodu‘. Takže abychom byli konzistentní, vezmeme si tohle ‚x‘ minus ‚x druhého bodu‘. Takže x-ová souřadnice tohoto bodu je ‚b‘. Takže to bude b minus a. Kdybychom teď věděli rovnici přímky, nebo kdybychom měli souřadnice těchto dvou bodů, tak by stačilo jenom je sem dosadit a dostali bychom směrnici. To je jednoduché. A to dostaneme hned ze znalostí základní algebry. Ještě to zkusím trochu ujasnit. Kdyby tady byl bod [2,3], a kdyby tenhle bod nahoře byl řekněme [5,7], tak kdybychom chtěli najít směrnici téhle přímky, udělali bychom 7 minus 3. To by byla ‚Δy‘. Takže tohle by bylo 7 a tohle by bylo 3. A pak bychom to vydělili (5 minus 2). Protože tady by bylo 5 a tady by bylo 2. A tohle by tedy byla naše ‚Δx‘. Takže 7 minus 3 jsou 4, 5 minus 2 jsou 3. Takže směrnice by byla 4/3. Uvidíme, jestli to umíme zobecnit. A tohle bude nový koncept, který se budeme učit, jak budeme prozkoumávat diferenciální počet. Pojďme si tohle nějak zobecnit na křivku. Tak řekněme, že mám tady křivku. Chceme mít křivku, než uděláme tohle zobecnění. Trošku popojedu. Vlastně jsem to chtěl nechat tady nahoře, abych ukázal tu podobnost. Řekněme, že mám… Nechám to teď celkem obecné. Řekněme, že mám nějakou křivku. Udělám ji povědomou. Nechť je to třeba křivka y se rovná x^2, což vypadá přibližně takhle. A chci najít její směrnici. Řekněme, že to chci udělat v nějakém jednom bodě. A ještě než o tom budu mluvit, tak se pojďme zamyslet nad tím, co vlastně směrnice křivky znamená. Tady byla směrnice pořád stejná, že? Ale na křivce se směrnice mění. A abychom měli nějaké tušení, co to znamená… Jaká je směrnice tady? Naše směrnice je směrnice tečny v tomhle bodě. Přímka se křivky sotva dotýká. To je směrnice. Je záporná. A tady je směrnice pořád záporná, ale je to trochu méně záporná směrnice. Jde asi takhle. Nevím, zda jsem to už kreslil. Udělám to jinou barvou. Udělám to třeba fialovou. Tady je směrnice trochu méně záporná. Je to čára, která jde trochu míň dolů. A když půjdeme sem, na bod 0 přímo tady, tak je naše směrnice placatá, protože vodorovná čára, y se rovná 0, je v tomhle bodě tečna na tuhle křivku. A jak jdeme do větších a větších kladných ‚x‘, tak směrnice se zvětšuje. Pokouším se nakreslit tečnu. A tady se zvětšuje ještě víc, ještě víc se zvětšila. Takže směrnice se pořád mění, a tohle je ta velká změna, která je mezi přímkou a křivkou. Na přímce je směrnice pořád stejná. Můžeme si vzít libovolné dva body přímky, vzít Δy děleno Δx, a dostaneme směrnici celé přímky. Ale jak už je vidět, bude to trochu jiné, jakmile tohle zkusíme pro křivku. Protože záleží na tom, o jakém bodu se právě bavíme. Nemůžeme se zeptat: "Jaká je směrnice téhle křivky?". Směrnice je všude jiná. Mění se. Jestli půjdeme sem, tak bude ještě větší. Bude asi taková. Zkusíme drobný experiment. Vím, jak dopadne, takže to nebude velký risk. Zkusím to nakreslit líp. Takže tohle je osa y, tohle je osa x. Tomuhle můžeme říkat y, nebo tomu můžeme říkat třeba osa f(x). Jak chceme. Teď tu křivku nakreslím znova. Nakreslím ji jenom na kladných souřadnicích. To je moje křivka. A co kdybych chtěl zjistit směrnici v tomhle bodě? Co můžu udělat? Podle naší definice směrnice potřebujeme 2 body, abychom dostali směrnici. Nevím, jak můžu najít směrnici jenom s jedním bodem. Takže tomuhle bodu budeme říkat třeba ‚x‘. Zkusím to říct co nejvíc obecně. Tohle bude náš bod ‚x‘. Abychom našli podle tradiční definice směrnici, potřebujeme 2 body. Takže si vezmeme jiný bod třeba tady. Vezmeme si jenom o trošku větší verzi tohoto ‚x‘. Řekněme, že máme tenhle bod. Vlastně ho radši nakreslím trochu dál, protože to jinak bude zmatené. Máme tenhle bod. A je jenom o ‚h‘ větší než ‚x‘. Radši místo toho, abychom říkali o ‚h‘ větší… No vlastně je o ‚h‘ větší než ‚x‘. Takže tohle je x plus h. To je tenhle bod. Takže jaké jsou y-ové souřadnice těchto bodů na křivce? Tahle křivka je: y se rovná f(x). Takže tenhle bod tady bude mít y-ovou souřadnici ‚f(x)‘. A abych ukázal, že si beru nějaké konkrétní ‚x‘, tak to označím jako ‚x0‘. Tohle je x0 plus h. Tohle je ‚f(x0)‘. A co potom bude tenhle bod? Jeho y-ová souřadnice bude hodnota funkce, když do ní dosadím trochu posunuté ‚x0‘. To je tady. Do ‚f‘ dosadím tuhle souřadnici ‚x‘, což je tedy ‚f(x0 plus h)‘. To je naše y-ová souřadnice. Tak jaká bude směrnice mezi těmito dvěma body, které jsou poměrně blízko od sebe? Pamatujte si, tohle nebude směrnice jenom v tomhle bodu. Tohle je směrnice celé přímky mezi těmito dvěma body. Kdybych ji skutečně nakreslil, ve skutečnosti by to byla sečna téhle křivky. Protnula by tu křivku dvakrát - jednou tady, a jednou tady. Není vidět. Kdybych to trochu zvětšil, tak by to vypadalo asi takhle. Tohle je bod [x0, f(x0)], a tady jsou souřadnice tohoto bodu, což by bylo… X-ová souřadnice by byla ‚x0 plus h‘, a y-ová souřadnice by byla ‚f(x0 plus h)‘. Ať je tahle funkce cokoliv, zjišťujeme její hodnotu na této souřadnici ‚x‘. To je všechno. Takže tohle jsou ty 2 body. Možná je dobré nejdřív říct: „Hej, co je směrnice téhle sečny?“. A jako jsme si ukazovali předtím, vezmeme Δy a vydělíme ji Δx. Nakreslím to. Δy by bylo tady, a Δx by bylo tady. Takže kolik bude směrnice téhle sečny? Začneme s tímhle bodem, protože vypadá větší, chceme Δy. Takže tahle hodnota y je f(x0 plus h). Právě jsem vyčíslil tohle. Vypadá to složitě, ale znamená to jen: „Podívej se na tu o trochu větší souřadnici x a najdi její souřadnici y.“. Kde ta křivka je na téhle souřadnici ‚x‘. Takže Δy bude f(x0 plus h). To je tahle y-ová souřadnice minus tahle y-ová souřadnice, takže minus f(x0). To je naše ‚Δy‘. A chceme tohle podělit ‚Δx‘. Takže kolik to je? Tohle je větší hodnota ‚x‘. Začali jsme s tímhle bodem, takže začneme s jeho souřadnicí x. To je (x0 plus h) minus tahle x-ová souřadnice, vybrali jsme si obecné číslo ‚x0‘. Tohle je naše ‚Δx‘. To je celé kouzlo. Tak dostaneme směrnici této sečny. Pořád jsme ale nezjistili, jaká je směrnice přesně v tomhle bodě. Ale možná nám tohle pomůže. Jestli tohle zjednodušíme, tak to můžeme napsat takhle. Směrnice sečny… Napíšu to pořádně. Směrnice sečny je f(x0 plus h) minus f(x0). Tohle je ‚Δy‘. To je přesně ta samá definice směrnice, jakou jsme používali vždycky. Děleno ‚Δx‘. Tohle můžeme zjednodušit. Máme (x0 plus h) minus x0. Takže x0 minus x0 se vyruší, dostaneme z toho prostě ‚h‘. Takže tohle je naše Δy lomeno Δx. To bychom měli. Ale začal jsem s tím, že bych chtěl najít směrnici křivky v tomhle bodě tady. Tohle je oddálená verze. Co s tím uděláme? Tenhle bod jsme si definovali jenom jako první bod plus nějaké ‚h‘. Máme nástroj jménem limita. ‚H‘ je jenom libovolné číslo. Může to být 10, může to být 2, může to být 0,02, může to být 10 na minus 100. Může to být libovolně malé číslo. Co by se aspoň teoreticky mělo stát, kdybych si vzal limitu tohoto blížící se k 0? Možná ‚h‘ je nejdřív nějaké velké číslo, ale pak když si vezmu trochu menší ‚h‘, tak bych našel směrnici téhle sečny. Kdybych vzal h ještě trochu menší, hledal bych směrnici této sečny. Kdyby bylo ještě menší, hledal bych směrnici téhle přímky. Jak se ‚h‘ blíží k nule, tak se dostávám směrnicemi blíž ke skutečné směrnici v tomhle bodě. Když je ‚h‘ velké, tak sečna bude něco úplně jiného než skutečná tečna funkce v tomhle bodě. Ale když ‚h‘ je 0,0000001, je to nekonečně malé číslo, tak jsem už docela blízko. Takže co se stane, když si vezmu limitu tohoto, když se h blíží k nule? Limita směrnice sečny, když ‚h‘ jde k 0, -- Přepnu na zelenou. -- je f(x0 plus h) minus f(x0), to bylo moje Δy děleno h, což bylo moje Δ x. Ještě něco ujasním, občas se v knížkách o diferenciálním počtu místo ‚h‘ píše ‚Δx‘. Tenhle druhý bod by byl definovaný jako x0 plus Δx, a potom by se tohle zjednodušilo na ‚Δx‘ tady. Brali bychom limitu, kde se ‚Δx‘ blíží k nule. To je přesně to samé, ‚h‘, ‚ Δx‘, nezáleží na tom. Bereme ‚h‘ jako rozdíl mezi jednou souřadnicí ‚x‘ a druhou souřadnicí ‚x‘ a potom použijeme limitu, tohle blíží k nule. Mohli bychom tomu říkat taky ‚Δx‘. Ale já téhle věci, která je rovná směrnici tečny, která se rovná směrnici tečny v tomhle bodě, budu téhle věci říkat derivace funkce f. Napíšu to. Derivace. A budu říkat, že tohle je ‚f'(x)‘. A tohle bude jenom jiná funkce. Protože směrnice se mění v každém bodě ‚x‘. Nezáleží na tom, jaké ‚x‘ si vybereme, směrnice bude jiná. Nemusí nutně být, ale v této křivce to tak bude. Může být jiná. Když mi dáte tady hodnotu ‚x‘, já použiju tuhle rovnici, a pak vám můžu říct směrnici v tom bodě. Možná to všechno vypadá složitě a možná i teď docela abstraktně. V dalším videu ukážu příklad, jak se dá taková věc vypočítat, a všechno bude určitě mnohem jasnější.
video