Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (6/15) · 12:40

Minimalizace ceny skladovacího boxu Najdi rozměry kontejneru se zadaným objemem tak, aby jeho cena byla co nejmenší.

Navazuje na Derivace funkce II.
Obdelníkový skladovací box bez víka potřebuje mít objem 10 metrů krychlových. Délka jeho základny je dvakrát větší než jeho šířka. Materiál základny stojí $10 za metr čtvereční. Materiál bočnic stojí $6 za metr čtvereční. Zjistěte cenu materiálu pro nejlevnější box. Nakreslím skladovací obdelníkový box bez víka. Bude mít otevřený vrch. Nakreslím otevřenou vrchní část, jak nejlépe umím. Bude to nahoře otevřené. Toto je vrchní část mého boxu. A pak nakreslím bočnice. Nějak takto. Bude to vypadat, asi takto. A pak mohu nakreslit... ...vzhledem k tomu, že je box otevřený, mohu vidět do něj, čili mohu vidět vnitřní část boxu. Box bude vypadat nějak takto. A co nám říkají? Říkají, že objem má být 10 metrů krychlových. Zapíši to. Potřebujeme objem 10 metrů krychlových. Délka základny je dvakrát větší než její šířka. Délku nazvěme ‚x‛...délka tedy bude dvakrát větší. Bude to 2x. Toto nám říkají zde. Dále říkají, že materiál základny stojí $10 za metr čtvereční. Tato plocha zde... Kdybych to měl průhledné, pokračoval bych s kresbou zde. Ale zde...materiál stojí $10 za metr čtvereční. Označím $10 za metr čtvereční. A pak říkají, že materiál bočnic stojí $6 za metr čtvereční. Tudíž materiál zde stojí $6 za metr čtvereční. Uvidíme, jestli příjdeme na hodnotu nebo kolik bude stát box, jako funkce x. Ale ‚x‛ nám pouze dává rozměr základny. Potřebujeme také rozměr pro výšku. Bude to funkce x a výšky. Napíši zde ‚h‛, jako výšku. Jaká bude cena tohoto boxu? Cena bude rovna ceně základny. Cena základny bude $10 krát... ...napíši jen 10. Bude to 10 krát plocha základny. Jaká je plocha základny? Bude to šířka krát délka. Tedy 10 krát x krát 2x. Toto je cena základny. A nyní, jaká bude cena bočnic? Různé strany budou mít různé rozměry. Máte zde tuto stranu a tuto stranu, které mají stejné rozměry. Mají plochu x krát h. A náš materiál stojí $6 za metr čtvereční. Takže 6 krát x krát h bude cena této jedné bočnice. Pro dvě bychom to měli vynásobit 2. Takže plus 2 krát 6 krát h. A pak zde máme tyto dvě bočnice. Zde máme tuto bočnici a tuto bočnici zde. Plocha každé z nich bude 2x krát h. 2x krát h. Cena materiálu bude 6. Cena jedné bočnice tedy bude $6 za metr čtvereční krát 2xh metrů čtverečních. Ale máme tyto 2 bočnice. Jedna bočnice a druhá bočnice. Musíme to vynásobit 2. A dostaneme...toto je cena obou bočnic. Podívejme se, zda to můžeme zjednodušit. Napíši to v neutrální barvě. Toto bude rovno 10. Podívejte. 10 krát 2 je 20. x krát x je x na druhou. A pak máte 2 krát 6 krát xh, což bude plus 12 xh. A toto bude 2 krát 6, což je 12 krát 2... ...a máme 24xh...plus 24xh. Toto bude rovno 20x na druhou plus 36xh. Toto bude moje cena, ale zatím ji nejsem připraven optimalizovat. Nevíme, jak optimalizovat vzhledem ke dvěma proměnným. Víme pouze, jak optimalizovat vzhledem k jedné proměnné a možná řeknu, optimalizujme to vzhledem k ‚x‛. Ale pokud to chceme optimalizovat vzhledem k ‚x‛, musíme vyjádřit ‚h‛ jako funkci ‚x‛. Jak to uděláme? Jak vyjádříme ‚h‛ jako funkci x? Víme, že objem musí mít 10 metrů čtverečních. Známe toto x, šířka krát délka...krát 2x ...krát výška krát h bude rovno 10. Nebo jinak řečeno, 2x na druhou h, 2x na druhou krát h bude rovno 10. A pokud chceme h, jako funkci x, tak obě strany podělíme (2x na druhou). A dostaneme, že h je rovno 10 lomeno 2x na druhou. Nebo můžeme říct, že h je rovno 5 lomeno x na druhou. A zde pak můžeme provést substituci. h je rovno 5 lomeno x na druhou. Celý tento výraz bude roven 20 krát x na druhou plus 36 krát x krát 5 lomeno x na druhou. Tudíž naše cena, jako funkce x bude 20x na druhou 36 krát 5. Podívejte, 30 krát 5 je 150 plus dalších 30 bude 180. Bude to plus 180 krát, podívejte, x krát x na -2...180x na -1. Nakonec máme cenu, jako funkci x. Nyní jsme připraveni optimalizovat. K optimalizaci musíme nejdříve zjistit stacionární body, kde se nachází a minimální nebo maximální hodnotu. Zjistěme, co můžeme udělat. K nalezení stacionárního bodu zderivujeme funkci a zjistíme, kde je derivace nedefinovaná nebo rovná 0, to budou naši kandidáti na stacionární body. A pak ze stacionárních bodů zjistíme, zda nabývají minimální nebo maximální hodnoty. Derivace c naší ceny vzhledem k x bude rovna 40 krát x minus 180 krát x na -2. Toto vypadá, jako...je to definované pro všechna x, kromě 0. Ale x rovné 0 nás, jako stacionární bod nezajímá, protože bychom měli rozklad. Box by neměl žádnou základnu. Takže tento bod nás nemusí znepokojovat. Neměli bychom žádný objem, takže by to nefungovalo. A pokud by bylo x rovno 0, naše výška by byla nedefinovaná. Tudíž je to definováno pro všechna čísla s výjimkou x se rovná 0. Podívejme se, kdy je tato derivace rovna 0 v našem zkoumání potenciálních stacionárních bodů. Udělám to zde. Kdy je 40x minus 180x na -2 rovno 0? Můžeme přičíst 180x na -2 k oběma stranám. Dostaneme, že 40x je rovno 180. A můžu to napsat jako 180 lomeno x na druhou. Nyní se podívejme. Obě strany rovnice můžeme napsat, jako x na druhou a dostaneme 40x na třetí je rovno 180. Obě strany rovnice podělíme 40. Dostanete x na třetí je rovno 180 lomeno 40, což je stejné, jako 18 lomeno 4, což je stejné, jako 9 lomeno 2. A pokud chceme vyřešit ‚x‛, dostaneme ‚x‛ je rovno stacionárnímu bodu... Dostaneme stacionární bod x roven 9/2 na 1/3, což je třetí odmocnina z 9/2. Podívejte. Dostanete přibližnou hodnotu. Pokud vezmeme 9/2, tudíž 9 děleno 2... ...věřím, že řeknete 4,5... ...a toto chceme umocnit 1/3. 4,5 na 1/3 je 1,65. Náš stacionární bod je zhruba roven 1,65. Při způsobu, jakým byl příklad položen dostáváme pouze jeden oprávněný stacionární bod. Možná to bude ‚x‛, ve kterém dosáhneme minimální hodnoty. Ale pro jistotu použijme druhou derivaci, abychom s určitostí věděli, že v daném bodě je funkce konvexní, a tedy ‚x‛ je minimální dosažitelná hodnota. Druhá derivace. Udělám ji zde. Druhá derivace funkce ceny je jen derivací tohoto, což je rovno 40 minus 180 krát -2... ...tedy rovno -360. Bude to plus 360 lomeno x na 1/3. Derivace tohoto je -2 krát -180, což je 360x na -3, což je přesně toto. Když je x rovno 1,65, tak toto bude kladné. Toto bude kladné. Napíši to zde dolů...c''(1,65) je rozhodně větší než 0. Když x je rovno 1,65, funkce je v daném bodě konvexní. Konvexní, což znamená, že náš graf bude vypadat nějak takto. Tam, kde je derivace rovna 0, což je zde, tam se nachází bod minima. A my minimalizujeme naši cenu. Pokud se vrátíme zpět k naší otázce, tak jediná věc, kterou musíme zjistit... ...známe hodnotu ‚x‛, která minimalizuje naší cenu. Nyní musíme zjistit cenu materiálu pro nejlevnější box. Musíme teď zjistit naši cenu. Už víme, jaká je naše cena, jako funkce x, takže pouze dosadíme 1,65 do této rovnice. Vyhodnotíme funkci v 1,65. Udělejme to. Naše cena bude rovna 20 krát 1,65. Měl bych říct přibližně rovna, protože používám přibližnou hodnotu původní hodnoty. 1,65 na druhou plus 180. Mohu říct děleno 1,65. Je to stejné, jako násobení 1,65 na -1. Tudíž děleno 1,65, což je rovno 163. Řeknu $163,5. Je to zhruba. Cena...udělám to novou barvou. Zasloužíme si slavnostní zabubnování. Cena, když je x rovno 1,65, je zhruba rovna $163,54. $163,54 je docela drahý box. Je to trochu drahé. Je to poměrně drahý materiál, ačkoliv box je docela veliký. 1,65 metrů na šířku a dvakrát tak dlouhý. A pak byste mohli zjistit, jaká bude jeho výška. Ačkoliv nebude až tak vysoký. 5 děleno 1,65 na druhou. Nevím, asi to bude vysoké zhruba pod 2 metry. Je to docela obrovský box vyrobený z poměrně drahého materiálu. Minimální cena k výrobě tohoto boxu bude $163,54.
video