Optimalizační úlohy: cena materiálů

Obdélníkový skladový kontejner bez víka má mít objem 10 metrů krychlových. Délka jeho podstavy je dvakrát větší než její šířka. Materiál na výrobu podstavy stojí 10 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu bočních stěn stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Zjistěte cenu materiálu na výrobu nejlevnějšího možného kontejneru. Nakresleme si tedy nějaký skladový obdélníkový kontejner bez víka. Bude otevřený. Nakreslím otevřenou vrchní část, jak nejlépe umím. Nahoře bude bez víka. Tohle je vrchní část mého kontejneru. Teď nakreslím boční stěny. Nějak takto. Bude to vypadat asi takhle. Pak mohu nakreslit… Protože nemá víko, tak vidím i vnitřek kontejneru. Kontejner tedy bude vypadat nějak takto. Co nám o něm říkají? Říkají, že objem má být 10 metrů krychlových. Zapíšu to. Objem má být 10 metrů krychlových. Délka podstavy je dvakrát větší než její šířka. Délku tedy označme... Označme šířku jako ‚x‘. Délka pak bude dvakrát tolik, tedy 2 krát x. Tak to říkají zde. Dále říkají, že cena materiálu na výrobu podstavy je 10 dolarů za metr čtverečný. Podstava, což je tato plocha... Kdybych to měl průhledné, tak bych to vybarvil i zde. Materiál na výrobu téhle části stojí 10 dolarů za metr čtverečný. Zapišme si k tomu tedy 10 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu bočních stěn stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Materiál na výrobu téhle části tedy stojí 6 dolarů za metr čtverečný. Zkusme teď přijít na hodnotu… Zkusme vyjádřit náklady na výrobu tohoto kontejneru jako funkci proměnné x. ‚x‛ udává pouze rozměry podstavy, ale my máme ještě třetí rozměr, a to výšku. Zatím tedy budeme hledat funkci x a výšky. Výšku označme jako ‚h‘. Jaké budou náklady na výrobu tohoto kontejneru? Celkové náklady se rovnají nákladům na výrobu podstavy... Náklady na výrobu podstavy budou 10 dolarů krát... Napíšu jenom 10. ...10 krát obsah podstavy. Jaký je obsah podstavy? Obsah je šířka krát délka, takže dohromady to bude 10 krát x krát 2 krát x. Takové jsou náklady na výrobu podstavy. Jaké budou náklady na výrobu bočních stěn? Různé stěny budou mít různé rozměry. Máme zde tuto stěnu a tuhle stěnu, které mají stejné rozměry. Obě mají obsah x krát h. Cena materiálu je 6 dolarů za metr čtverečný, takže 6 krát x krát h budou náklady na výrobu jedné z těchto bočních stěn. Pro dvě stěny bychom to měli vynásobit 2, takže tu bude plus 2 krát 6 krát x krát h. Pak zde máme tyto dvě boční stěny. Tady je jedna boční stěna a zde je druhá boční stěna. Obsah každé z nich bude 2 krát x krát h. Zde tedy bude 2 krát x krát h. Cena materiálu je 6, takže náklady na jednu boční stěnu jsou: 6 dolarů za metr čtverečný krát 2 krát x krát h metrů čtverečných. My ale máme dvě takové stěny. Tady je první a zde je druhá. Musíme to tedy ještě vynásobit 2. Dostaneme... Tohle jsou náklady na výrobu bočních stěn. Zkusme to teď nějak zjednodušit. Napíšu to všechno bílou barvou. Tohle se rovná 10... 10 krát 2 je 20 a x krát x je x na druhou. Pak tady máme 2 krát 6 krát x krát h, takže tu bude plus 12 krát x krát h. Nakonec zde máme 2 krát 6, což je 12, krát 2, což nám dá 24, a ještě krát x krát h. Plus 24 krát x krát h. To se rovná 20 krát (x na druhou) plus 36 krát x krát h. Takové budou náklady, ale zatím je neumíme optimalizovat. Nevíme, jak optimalizovat vzhledem k dvěma proměnným. Víme, jak optimalizovat vzhledem k jedné proměnné, a řekněme, že zde chceme optimalizovat vzhledem k ‚x‛. Pokud však chceme optimalizovat vzhledem k ‚x‛, musíme h vyjádřit jako funkci proměnné x. Jak to uděláme? Jak vyjádříme h jako funkci proměnné x? Víme, že objem musí být 10 metrů čtverečných. Víme tedy, že šířka ‚x‘ krát délka 2x krát výška ‚h‘ se má rovnat 10, neboli že 2 krát (x na druhou) krát h se má rovnat 10. Když tedy chceme h vyjádřit jako funkci x, tak obě strany vydělíme výrazem 2 krát (x na druhou), čímž dostaneme, že h je rovno 10 lomeno výrazem 2 krát (x na druhou), což můžeme napsat také tak, že h se rovná 5 lomeno (x na druhou). Tohle teď můžeme dosadit sem. h se rovná 5 lomeno (x na druhou). Celý tento výraz se tedy rovná: 20 krát (x na druhou) plus 36 krát x krát 5 lomeno (x na druhou). Celkové náklady vyjádřené jako funkce x tedy jsou 20 krát (x na druhou)... Kolik je 36 krát 5? 30 krát 5 je 150 a pak přičteme dalších 30, takže to bude 180. ...plus 180 krát... Máme tu x krát (x na minus druhou), takže to bude 180 krát (x na minus prvou). Konečně jsme náklady vyjádřili jako funkci x a teď už můžeme optimalizovat. K optimalizaci musíme nejdříve najít stacionární body a zjistit, zda v těchto bodech funkce nabývá minimální nebo maximální hodnotu. Tak to pojďme udělat. Stacionární body určíme tak, že funkci zderivujeme a zjistíme, kde derivace není definovaná nebo kde je rovna 0, což budou kandidáti na stacionární body. U stacionárních bodů pak zjistíme, zda v nich funkce nabývá minimální nebo maximální hodnotu. Derivace c, tedy našich nákladů, podle x se rovná: 40 krát x minus 180 krát (x na minus druhou). Vypadá to, že… Toto je definované pro všechna x kromě x rovno 0. x rovno 0 nás ale jakožto stacionární bod nezajímá, protože bychom měli takový podivný... Kontejner by neměl žádnou podstavu. Tento stacionární bod nás tak nemusí zajímat. Neměli bychom žádný objem, což by nefungovalo. Pokud by x bylo rovno 0, tak by navíc výška nebyla definovaná. Tento výraz je tedy definovaný pro všechna čísla kromě x rovno 0. Podívejme se nyní, kdy je tato derivace rovna 0, abychom našli další stacionární body. Kdy se... Udělám to zde. ...kdy se 40 krát x minus 180 krát (x na minus druhou) rovná 0? K oběma stranám můžeme přičíst 180 krát (x na minus druhou), čímž dostaneme, že 40 krát x se rovná 180... Můžu to napsat jako 180 lomeno (x na druhou). Obě strany rovnice teď můžeme vynásobit výrazem x na druhou a dostaneme, že 40 krát (x na třetí) se rovná 180. Po vydělení obou stran číslem 40 nám vyjde, že x na třetí se rovná 180 lomeno 40, což je totéž jako 18 lomeno 4 neboli 9 lomeno 2. My chceme spočítat x, takže x se rovná… Vyjde nám stacionární bod x rovná se (9 lomeno 2) na (1 lomeno 3), tedy třetí odmocnina z (9 lomeno 2). Podívejme se, kolik to přibližně je. Když vezmeme 9 lomeno 2, tedy 9 děleno 2, což bychom taky mohli napsat jako 4,5, a umocníme to na (1 lomeno 3), tak nám vyjde 1,65. Náš stacionární bod je tudíž zhruba roven 1,65. Tato úloha tedy byla zadána tak, že nám vyjde pouze jeden použitelný stacionární bod. Nejspíš jde tedy o to x, pro které dosáhneme minimální hodnoty, ale pro jistotu použijme druhou derivaci, abychom bezpečně věděli, že funkce je v tomto bodě konvexní, a tedy že toto je opravdu ten bod x, ve kterém funkce nabývá minimální hodnotu. Druhá derivace... Spočítám ji zde. Druhá derivace funkce udávající náklady je jen derivace tohoto výrazu, takže to bude 40 minus... 180 krát −2 je −360, takže zde bude plus 360 lomeno (x na třetí). Derivace tohoto je −2 krát −180, což je +360, krát (x na minus třetí), což je přesně tento výraz. Když je x rovno 1,65, tak toto bude kladné a tohle bude taky kladné. Napíšu to. c se dvěma čárkami v bodě 1,65 je určitě větší než 0, takže v bodě x rovno 1,65 je funkce určitě konvexní. Funkce je konvexní, což znamená, že její graf vypadá nějak takto. Tam, kde je derivace rovna 0, k čemuž dochází v tomhle bodě, tudíž funkce nabývá minima. V tomto bodě minimalizujeme naše náklady. Když se vrátíme k naší otázce, tak už jen zbývá zjistit… Už známe hodnotu x, pro kterou budou náklady minimální, a nyní musíme spočítat cenu materiálu na výrobu nejlevnějšího možného kontejneru. Musíme tedy spočítat, jaké budou naše náklady. Náklady už máme vyjádřené jako funkci x, takže pouze dosadíme 1,65 do této rovnice, neboli spočítáme funkční hodnotu v bodě 1,65. Tak pojďme na to. Vyjde nám... Naše náklady jsou rovny 20 krát (1,65… Měl bych říct „přibližně rovny“, protože používám přibližnou hodnotu tohoto čísla. ...1,65 na druhou) plus (180 děleno 1,65). Děleno 1,65 je totéž jako vynásobit číslem 1,65 na minus prvou. ...děleno 1,65, což se rovná 163... Řekněme 163,5 dolarů. Je to přibližná hodnota. Celkové náklady, když... Udělám to novou barvou. Teď si zasloužíme oslavnou fanfáru. ...celkové náklady, když je x rovno 1,65, jsou přibližně rovny 163,54 dolarů. 163,54 dolarů neboli 163 dolarů a 54 centů. To je docela drahý kontejner. Je to trochu drahé. Jde o poměrně drahý materiál, ačkoliv kontejner není zas tak malý. Má 1,65 metrů na šířku a je dvakrát tak dlouhý. Mohli bychom také zjistit, jaká bude jeho výška. Nebude asi až tak vysoký. Výška je 5 děleno (1,65 na druhou). Jeho výška bude něco pod 2 metry. Je to vlastně docela velký kontejner vyrobený z poměrně drahého materiálu. Minimální náklady na výrobu tohoto kontejneru jsou 163,54 dolarů.