Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (10/15) · 5:49

Relativní rychlost pádu žebříku Zjistěte, jak rychle klesá vrch žebříku, když nám spodek ujíždí na kluzké podlaze.

Navazuje na Derivace funkce II.
Dostal jsem 10 stop vysoký žebřík, který je opřený o zeď. Ale stojí na velmi kluzkém povrchu a začíná sjíždět dolů. A zrovna, když je... ...v moment, kdy se na něj díváme, je základna žebříku 8 stop od paty zdi. A sklouzává ode zdi rychlostí 4 stopy za sekundu. Budeme předpokládat, že vrchní část žebříku klouže podél zdi, zůstává s ní v kontaktu a klouže přímo dolů. Zde nahoře vidíme, že šipka se pohybuje směrem dolů. Naše otázka zní: Jak rychle se vrch žebříku pohybuje směrem dolů v tuto chvíli? Trochu o tom popřemýšlejme. Co známe a co neznáme? Pokud nazveme vzdálenost mezi... ...nazvěme vzdálenost mezi patou zdí a základnou žebříku ‚x‛. Víme, že právě teď je ‚x‛ rovno 8 stop. Také známe rychlost, jakou se mění ‚x‛ s ohledem na čas. Rychlost, jakou se mění x vzhledem k času, je 4 stopy za sekundu. Můžeme to nazvat dx/dt. Nyní nazvěme vzdálenost od vrchní části žebříku k základně žebříku ‚h‛. Nazvěme to ‚h‛. Co se skutečně snažíme zjistit, je dh/dt, protože známe ostatní informace. Uvidíme, jestli přijdeme na vztah mezi ‚x‛ a ‚h‛ a pak budeme derivovat vzhledem k času, možná použijeme řetízkové pravidlo. Podívejme, jestli vyřešíme dh/dt, když známe všechny tyto informace. Známe vztah mezi ‚x‛ a ‚h‛ v celém časovém intervalu, díky Pythagorově větě. Předpokládejme, že toto je pravý úhel. Víme, že x na druhou plus h na druhou bude rovno délce žebříku na druhou, takže to bude rovno 100. A zajímá nás, jakou rychlostí se mění tato vzdálenost vzhledem k času. Zderivujeme obě strany vzhledem k času. Děláme částečně implicitní derivaci. Co je derivací x na druhou vzhledem k času? Derivací x na druhou vzhledem k času je 2x. A vynásobíme to krát derivace x vzhledem k ‚t‛, čili dx/dt. Aby bylo jasno, toto je řetízkové pravidlo. Toto je derivace (x na druhou) vzhledem k x...což je 2x...krát dx/dt, abychom dostali derivaci x na druhou vzhledem k času. Řetízkové pravidlo. Podobně, jaká je derivace h na druhou vzhledem k času? Bude to 2h... ...derivace (h na druhou) vzhledem k ‚h‛ je 2h krát derivace h vzhledem k času. Ještě jednou, toto zde je derivace (h na druhou) vzhledem k h krát derivace h vzhledem k času, což nám dá derivaci h na druhou vzhledem k času. A co dostaneme na pravé straně naší rovnice? Délka našeho žebříku se nemění. Tato 100 se nezmění vzhledem k času. Derivace konstanty je rovna 0. A nyní to máme...vztah mezi rychlostí změny ‚h‛ vzhledem k času. Rychlost změny ‚x‛ vzhledem k času. A pak, v daném bodě, když délka ‚x‛ je x a ‚h‛ je h... Ale víme, jaké je ‚h‛, když ‚x‛ je rovno 8 stop? Zjistíme to. Když je ‚x‛ rovno 8 stop, můžeme znovu použít Pythagorovu větu. Dostaneme 8 stop na druhou plus h na druhou bude rovno 100. 8 na druhou je 64. Odečtením tohoto od obou stran dostanete, že h na druhou se rovná 36. Vezměte kladnou odmocninu... ...záporná odmocnina by nedávala smysl, protože potom by žebřík musel být pod zemí, někde pod povrchem... Dostaneme, že ‚h‛ se rovná 6. Toto je něco, co bylo zadáno příkladem. Nyní se podívejme na původní věc zde, víme, co je ‚x‛, a že bylo zadáno. Právě teď je ‚x‛ 8 stop. Známe rychlost změny ‚x‛ vzhledem k času, což jsou 4 stopy za sekundu. Víme, že ‚h‛ je právě teď 6. Můžeme tedy zjistit rychlost ‚h‛ vzhledem k času. Udělejme to. Dostaneme 2 krát 8 stop krát 4 stopy za sekundu, takže krát 4 plus 2h...to bude plus 2 krát naše výška právě teď, což je 6... ...krát rychlost, s jakou se mění naše výška vzhledem k času je rovna 0. Takže dostaneme 2 krát 8 krát 4 je 64 plus 12 dh/dt je rovno 0. Můžeme odečíst 64 od obou stran a dostaneme 12. 12 krát derivace h vzhledem k času je rovna -64. A pak musíme obě strany vydělit 12. Za chvilku budeme mít výsledek... Derivace rychlosti změny ‚h‛ vzhledem k času je rovna -64 děleno 12. To je rovno -64 lomeno 12, což je stejné, jako -16 lomeno 3. Což je rovno... ...přesunu se trochu více doprava... ...-5 a 1/3 stopy za sekundu. Jsme hotovi. Podrobme to zdravému rozumu...dává smysl, že jsme dostali zápornou hodnotu? Naše výška je klesající. Takže dává úplný smysl, že naše rychlost změny je záporná. A jsme hotovi.
video