Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (5/15) · 11:27

Optimalizace zisku v továrně na obuv Otevřeli jste továrnu na obuv a snažíte se zjistit, kolik tisíc párů obuvi vyprodukovat, abyste optimalizovali svůj zisk.

Navazuje na Derivace funkce II.
Otevřeli jste továrnu na obuv a snažíte se zjistit, kolik tisíc párů obuvi vyprodukovat, abyste optimalizovali svůj zisk. Řekněme, že ‚x‛ je rovno tisíci párů vyrobené obuvi. Nyní popřemýšlejte, kolik peněz vyděláte za 1 pár. Jaký výnos budete mít...což znamená, kolik dostanete, když prodáte tento pár obuvi. Napišme zde funkci r(x). Výnos ,r´ je funkce x. Máte velkoprodejce, který je ochotný vám zaplatit $10 za pár a koupit tolik párů, kolik mu nabídnete. Váš výnos je funkcí x, takže to bude 10 krát x. A když x je rovno tisíci vyrobených párů, tak pokud je x rovno 1, znamená to 1 000 vyrobených párů krát 10, což je $10 000. Ale toto vám dá 10. Toto zde je v tisících dolarů. Pokud je ‚x‛ rovno 1, znamená to 1 000 vyrobených párů. 10 krát 1 říká, že ‚r‛ je rovno 10, ale skutečně to znamená $10 000. Teď by to bylo krásné podnikání, pokud byste měli jen výnosy a žádné náklady. Ale máte náklady. Máte materiál, museli jste postavit továrnu, zaplatit své zaměstnance, zaplatit účet za elektřinu. A také jste si museli najmout partu konzultantů, aby vám řekli, že vaše náklady jsou funkcí c(x). A přišli s funkcí. Říkají, že (počet vyráběných párů v tisících na třetí) minus 6 krát (počet vyráběných párů v tisících na druhou) plus 15 krát (počet vyráběných párů v tisících). A znovu, toto bude také v tisících dolarů. Když je daná funkce r(x) pro výnosy a c(x) pro náklady, jaký je zisk jako funkce p(x)? Váš zisk jako funkce p(x) bude roven vašim výnosům jako funkci r(x) minus vašim nákladům jako funkci c(x). Pokud vyrábíte určité množství a vynese vám to řekněme $10 000 a náklady na výrobu této obuvi jsou $5 000, tak máte zisk $5 000. Tato čísla nejsou jediná, která byste odsud získali. Jen vám dávám příklad. Toto chcete optimalizovat. Chcete optimalizovat ‚p‛ jako funkci (x). Co je to? Vyjádřil jsem to abstraktními výrazy, ale víme, co je r(x) a co je c(x). Toto je 10x minus celý tento výraz. Takže minus x na třetí plus 6x na druhou minus 15x. Jenom jsem odečetl x na třetí, odečtem 6x na druhou to bude kladné, odečtěte 15x a bude to -15x a pak to můžeme zjednodušit... ...podívejte, máme -x na třetí plus 6x na druhou minus 15x plus 10x, takže je to -5x. Pokud bychom chtěli tuto funkci optimalizovat analyticky, nejjednodušší způsob je, zjistit stacionární body této funkce zisku... ...jsou některé z těchto bodů minimum nebo maximum? A pokud některý z nich je bod maxima, pak můžeme říct, vyrábějme tolik. Takže to bude... ...můžeme optimalizovat nebo zjistit množství, které potřebujeme vyrobit s cílem optimalizovat svůj zisk. Ke zjištění stacionárních bodů, musíme najít derivaci funkce a zjistit, kdy je derivace rovna 0 nebo kdy je funkce nedefinovaná. Toto je definice kritických bodů. Takže p'(x) bude rovna (-3x) na druhou plus 12x minus 5. A tato funkce bude definovaná pro všechna ‚x‛. Takže jediný stacionární bod, který dostaneme je, když první derivace této funkce je rovna 0. Takže (-3x) na druhou plus 12x minus 5 je rovno 0, s cílem, aby ‚x‛ bylo stacionárním bodem. Nyní to vyřešíme pro ‚x‛. Takže vlastně řešíme kvadratickou rovnici. Abych neměl tolik záporných znamének, vynásobím obě strany -1. Rád bych měl čistý první koeficient. Tudíž, pokud vynásobíme obě strany -1, dostaneme 3x na druhou minus 12x plus 5 je rovno 0. A nyní vyřešíme kořeny kvadratické rovnice. Takže x bude rovno -b, což je 12 plus minus odmocnina... ...vždy nechávám zbytek znaku celkem dlouhý... ...Odmocnina z b na druhou, což je 144 minus 4 krát a, což je 3 krát c, což je 5. To celé lomeno 2a. Takže 2 krát 3 je 6. Tudíž x je rovno 12 plus minus odmocnina ...podívejte 4 krát 3 je 12 krát 5 je 60. 144 minus 60 je 84. To celé děleno 6. Takže x bude rovno 12 plus odmocnina z 84, to celé děleno 6 nebo x by mohlo být rovno 12 minus odmocnina z 84, to celé děleno 6. Vyřešme tyto dva. Použiji kalkulačku. Použiji kalkulačku na tento výraz. Takže dostanu...podívejte... 12 plus odmocnina z 84, to celé děleno 6, což mi dá 3,5... ...mohl bych říct 3,53. Tudíž zhruba 3,...vlastně přidám ještě jedno číslo, protože hovořím v tisících. Řeknu tedy 3,528. Tudíž to bude doslova 3 528 párů, protože je to v tisících párů bot. A teď pojďme na výraz se záporným znaménkem. Vlastně se stačí podívat na náš předchozí záznam a změnit znaménko. Změnit to na nezáporné znaménko. Jdeme na to. A dostaneme 0,4725. Zapamatuji si to. 0,4725. Zhruba je to rovno 0,4725. Mám hroznou paměť, takže přezkoumám, zda jsem napsal stejné číslo. 0,4725. V pořádku. To je vše, co o tom víme, jsou to stacionární body. To jsou body, ve kterých je naše derivace rovna 0. Ale nevíme, kde jsou body minima, což jsou body, ve kterých funkce dosahuje minimální hodnoty, maximální hodnoty nebo žádné. Abych to zjistil, použiji druhou derivaci, čímž vyřeším, zda je naše funkce konvexní nebo konkávní nebo žádná v těchto bodech. Podívejme se na druhou derivaci. Takže p''(x) bude rovno -6x plus 12. A pokud se podíváme...ujistím se, že mám dost místa... Pokud se podíváme na druhou derivaci p´´(3,528). Zamyslím se. Je to něco mezi 3 a 4. Pokud vezmeme nižší hodnotu, tak 3 krát -6 je -18 plus 12, což bude méně než 0. Pokud bych vzal 4, bude to ještě více záporné, tudíž tento výraz bude méně než 0. Ani nemusím použít svou kalkulačku, abych to zjistil. A co s tímto výrazem zde? Hodnota 0,47 je zhruba 0,5. Takže -6 krát 0,5 je -3. Nebude to tak blízké zápornému. Bude to vlastně kladné. Druhá derivace z p(0,4725) je větší než 0. Skutečnost, že druhá derivace je menší než 0 znamená, že moje derivace klesá. Moje první derivace je klesající, když x je rovno této hodnotě, což znamená, že náš graf, naše funkce je zde konkávní. A konkávní znamená, že vypadá nějak takto. A můžete vidět, že vypadá nějak takto, sklon konstantně klesá. Když máte interval, kde je sklon klesající a víte, kde je bod, ve kterém je sklon přesně 0, což je tam, kde x je rovno 3,528, tak to musí být maximum. Takže dostaneme maximální hodnotu, když je x rovno 3,528. Na druhou stranu zde vidíme, konvexní křivku. Graf bude vypadat nějak takto. A pokud je sklon 0, tam kde graf vypadá takto, vidíme, že je zde lokální minimum. A toto my nechceme. Vyráběli bychom 472 a 1/2 párů, pokud bychom chtěli minimalizovat náš zisk a maximalizovat naši ztrátu. A to opravdu nechceme. Pojďme se, ale zamyslet, jaký bude náš zisk, když budeme vyrábět 3,528 tisíců... nebo 3 528 párů obuvi. Abychom to zjistili, musíme se vrátit k naší původní funkci zisku. Udělejme to. Odložím svou kalkulačku. Moje původní funkce zisku je zde. Chtěl bych vidět toto a toto. Umocním -3,528 na třetí plus 6 krát 3,528 na druhou minus 5 krát 3,528... ...a dostanu zisk 13,128. Napíši to dolů. Zisk, když vyrobím 3,528 párů obuvi, je zhruba roven nebo je roven přesně, pokud vyrobím právě tolik obuvi... ...je roven 13,128. Nebo je to rovno zhruba, protože stále zaokrouhluji 13,128. Pokud vyrobím 3 528 párů bot za dané období, budu mít zisk $13 128. Pamatujte, toto zde je v tisících, tudíž toto je 13,128 tisíců dolarů zisku, což je $13 128. A teď budeme bohatí výrobci obuvi.
video