Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (4/15) · 6:53

Rychlost změny vzdálenosti mezi blížícími se auty Ke kolmé křižovatce se blíží osobní a nákladní auto. Jakou rychlostí se mění vzdálenost mezi auty?

Navazuje na Derivace funkce II.
Toto osobní auto zde se blíží ke křižovatce rychlostí 60 mil za hodinu. A právě v tomto okamžiku je 0,8 mil od křižovatky. A zde máme nákladní auto, které se blíží ke stejné křižovatce, ale ulicí, která je kolmá k té, kterou přijíždí osobní auto. A právě je 0,6 mil od křižovatky. Ke křižovatce se blíží rychlostí 30 mil za hodinu. Moje otázka zní: Jakou rychlostí se mění vzdálenost mezi osobním a nákladním autem? Nejprve se zamysleme, na co se vlastně ptáme. Ptáme se na vzdálenost mezi osobním a nákladním autem. V tento okamžik, kdy je osobní auto 0,8 mil od křižovatky a nákladní auto 0,6 mil od křižovatky. Nákladní auto teď jede rychlostí 30 mil za hodinu ke křižovatce, osobní auto teď jede ke křižovatce rychlostí 60 mil za hodinu. Jaká je rychlost změny vzdálenosti v tuto chvíli? Vzhledem k tomu, že zde máme nějaké proměnné, nazvěme vzdálenost ‚s‛. V tuto chvíli se pokoušíme zjistit, čemu je rovno ds/dt. Popřemýšlejme nad tím, co známe a můžeme použít, abychom vyřešili, co je ds/dt. Známe vzdálenost mezi osobním autem a křižovatkou. Nazvěme to vzdálenost... ...dejme tomu třeba vzdálenost y. Takže y je rovno 0,8 mil. Víme také, že...napíši to... víme, že ‚y‛ je rovno 0,8 právě teď. Víme také, kolik je dy/dt, což je rychlost změny ‚y‛ vzhledem k času. ‚y‛ klesá rychlostí 60 mil za hodinu. Napíši to, jako -60 mil za hodinu. A teď stejně...řekněme, že vzdálenost zde je ‚x‛. V tuto chvíli je x rovno 0,6 mil. Takže víme, že ‚x‛ je rovno 0.6 mil. Jaká je rychlost, jakou se ‚x‛ mění vzhledem k času? Víme, že je to 30 mil za hodinu, což je rychlost, jakou se blížíme ke křižovatce, ale ‚x‛ se zmenšuje rychlostí 30 mil za hodinu. Mohli bychom říct, že je to -30 mil za hodinu. Známe ‚y‛. Známe ‚x‛. Víme, jak rychle se mění ‚y‛ a ‚x‛ vzhledem k času. Teď musíme přijít na vztah mezi ‚x‛, ‚y‛ a ‚s‛. A pak derivovat tento vztah vzhledem k času. Vypadá to, že máme vše k vyřešení tohoto problému. Jaký je vztah mezi ‚x‛, ‚y‛ a ‚s‛? Víme, že je to pravoúhlý trojúhelník. Ulice jsou na sebe kolmé. Tudíž můžeme použít Pythagorovu větu. Víme, že (x na druhou) plus (y na druhou) bude rovno (s na druhou). A pak můžeme derivovat obě strany vzhledem k času, abychom dostali vztah mezi všemi veličinami, které nás zajímají. Co je derivace (x na druhou) vzhledem k času? Budete potřebovat derivaci (x na druhou) vzhledem k x, což je 2x krát derivace x vzhledem k času krát dx/dt. Znovu použijeme řetízkové pravidlo. Derivace něčeho na druhou vzhledem k něčemu krát derivace něčeho vzhledem k času. Použijeme stejnou logiku zde, když chceme derivovat (y na druhou) vzhledem k času. Derivace (y na druhou) vzhledem k ‚y‛ krát derivace y vzhledem k času. Na pravé straně rovnice derivujeme vzhledem k času. Je to derivace (s na druhou) vzhledem k ‚s‛, což je 2s krát derivace ‚s‛ vzhledem k času. Znovu je to jen aplikace řetízkového pravidla. Vypadá to, že známe ‚x‛, známe dx/dt, víme, co je ‚y‛, známe dy/dt. Vše co potřebujeme zjistit, je ‚s‛, a pak ds/dt, což je rychlost, jakou se vzdálenost mění vzhledem k času. A kolik je teď ,s´? V tuto chvíli použijeme Pythagorovu větu. Víme, že x na druhou...‚x‛ je 0,6... ...víme, že 0,6 na druhou plus (y na druhou) ...což je 0,8...je rovno (s na druhou). Toto je 0,36 plus 0,64 je rovno s na druhou. Toto je 1, což je rovno s na druhou. Zajímá nás pouze kladná vzdálenost, tudíž ‚s‛ je rovno 1 právě teď. Takže už známe ‚s‛. Pojďme toto nahradit za čísla a zkusme vyřešit, s čím jsme přišli. Vyřešme ds/dt. Rychlost je 2 krát x... ...možná bych to měl udělat žlutě... ...2 krát x, kde x je 0,6, tudíž to bude 1,2 krát dx/dt, ...takže toto je -30 mil za hodinu... ...tudíž -30 mil za hodinu plus 2 krát y je 1,6 krát dy/dt je -60 mil za hodinu. Nepíši zde jednotky. Pokud byste je chtěli, tak vidíte, že naše vzdálenost je v mílích. A veškerý náš čas je v hodinách, takže dostaneme odpověď, že ds/dt je v mílích za hodinu. Ale povzbudím vás, aby jste napsali jednotky a viděli, jak je procvičovat. A toto bude rovno 2 krát s. Takže ‚s‛ je 1 míle, tudíž to bude 2 krát ds/dt, což je to, co se snažíme vyřešit. Co tedy dostaneme na levé straně rovnice? 1,2 krát -30, což je -36. 1/5 ze 30 je 6, což sedí. A pak 1,6 krát -60, což bude -96 je rovno 2 krát ds/dt, je rovno 2 krát rychlost, ve které se mění naše vzdálenost vzhledem k času. Zde na levé straně je -132. -132 je rovno 2 krát ds/dt. Vydělme obě strany 2 a dostaneme -66. Nyní můžeme napsat naše jednotky, pokud chceme...míle za hodinu, je rychlost, s kterou se mění naše vzdálenost vzhledem k času. Takže ds/dt je -66 mil za hodinu. Dává smysl, že jsme zde dostali záporné znaménko. Jistě, tato vzdálenost je klesající v tomto okamžiku, když se blíží ke křižovatce.
video