Úlohy na derivaci vzájemně souvisejících veličin: Auta jedoucí na křižovatku

Toto osobní auto se blíží ke křižovatce rychlostí 60 mil za hodinu. A právě v tomto okamžiku je 0,8 mil od křižovatky. A zde máme nákladní auto, které se blíží ke stejné křižovatce, ale ulicí, která je kolmá k té, kterou přijíždí osobní auto. A právě je 0,6 mil od křižovatky. Ke křižovatce se blíží rychlostí 30 mil za hodinu. Moje otázka zní: Jakou rychlostí se mění vzdálenost mezi osobním a nákladním autem? Nejprve se zamyslíme, na co se vlastně ptám. Ptám se na vzdálenost mezi osobním a nákladním autem. Na začátku je osobní auto 0,8 mil od křižovatky a nákladní auto 0,6 mil od křižovatky. Nákladní auto teď jede rychlostí 30 mil za hodinu ke křižovatce, osobní auto teď jede ke křižovatce rychlostí 60 mil za hodinu. Jaká je rychlost změny vzdálenosti v tuto chvíli? Vzhledem k tomu, že zde máme nějaké proměnné, nazvěme vzdálenost ‚s‛. V tuto chvíli se pokoušíme zjistit, čemu je rovno ds/dt. Popřemýšlejme nad tím, co známe a můžeme použít, abychom vyřešili, co je ds/dt. Známe vzdálenost mezi osobním autem a křižovatkou. Nazvěme to třeba vzdálenost y. Takže y je rovno 0,8 mil. Také víme, že ‚y‛ je právě teď rovno 0,8. Víme také, kolik je dy/dt, což odpovídá rychlosti změny ‚y‛ podle času. ‚y‛ klesá rychlostí 60 mil za hodinu. Napíši to jako −60 mil za hodinu. A teď stejně řekněme, že vzdálenost zde je ‚x‛. V tuto chvíli je x rovno 0,6 mil. Takže víme, že ‚x‛ je rovno 0,6 mil. Jaká je rychlost, jakou se ‚x‛ mění vzhledem k času? Víme, že je to 30 mil za hodinu, což je rychlost, jakou se blížíme ke křižovatce, ale ‚x‛ se zmenšuje rychlostí 30 mil za hodinu. Mohli bychom říct, že je to −30 mil za hodinu. Známe ‚y‛, známe i ‚x‛. Víme, jak rychle se mění ‚y‛ a ‚x‛ s časem. Teď musíme přijít na vztah mezi ‚x‛, ‚y‛ a ‚s‛. A pak derivovat tento vztah podle času. Vypadá to, že máme vše k vyřešení daného příkladu. Jaký je vztah mezi ‚x‛, ‚y‛ a ‚s‛? Víme, že je to pravoúhlý trojúhelník, ulice jsou na sebe kolmé. Tudíž můžeme použít Pythagorovu větu. Víme, že (x na druhou) plus (y na druhou) bude rovno (s na druhou). A pak můžeme derivovat obě strany podle času, abychom dostali vztah mezi všemi veličinami, které nás zajímají. Čemu je rovna derivace (x na druhou) podle času? Budete potřebovat derivaci (x na druhou) podle x, což je 2x, krát derivace x podle času, tedy krát dx/dt. Dle pravidla pro derivování složené funkce. Derivace něčeho na druhou podle něčeho krát derivace něčeho podle času. Použijeme stejnou logiku zde, když chceme derivovat (y na druhou) podle času. Derivace (y na druhou) podle ‚y‛ krát derivace y podle času. Na pravé straně rovnice derivujeme podle času. Je to derivace (s na druhou) podle ‚s‛, což je 2s, krát derivace ‚s‛ podle času. Znovu, je to jen aplikace pravidla pro derivaci složené funkce. Vypadá to, že známe ‚x‛, známe dx/dt, víme, čemu je rovno ‚y‛, známe dy/dt. Vše co potřebujeme zjistit, je ‚s‛, a pak ds/dt, což je rychlost, s jakou se vzdálenost mění s časem. A kolik je teď ,s´? V tuto chvíli použijeme Pythagorovu větu. Víme, že x na druhou… ‚x‛ je 0,6. Víme, že 0,6 na druhou plus (y na druhou), což je 0,8, je rovno (s na druhou). 0,36 plus 0,64 je rovno s na druhou. Součet dá 1, což je rovno s na druhou. Zajímá nás pouze kladná vzdálenost, tudíž ‚s‛ je rovno 1. Takže už známe ‚s‛. Pojďme dosadit čísla a zkusme vyřešit, s čím jsme přišli. Vyřešme ds/dt. Rychlost je 2 krát x… Možná bych to měl udělat žlutě. 2 krát x, kde x je 0,6, tudíž to bude 1,2 krát dx/dt. Toto je −30 mil za hodinu. Tudíž −30 mil za hodinu plus 2 krát y je 1,6 krát dy/dt je −60 mil za hodinu. Nepíši zde jednotky. Pokud byste je chtěli, tak vidíte, že naše vzdálenost je v mílích. A veškerý náš čas je v hodinách, takže dostaneme odpověď, že ds/dt je v mílích za hodinu. Ale zkuste si ty jednotky odvodit sami, abyste věděli, jak na ně. A toto bude rovno 2 krát s. Takže ‚s‛ je 1 míle, tudíž to bude 2 krát ds/dt, což je to, co se snažíme vyřešit. Co tedy dostaneme na levé straně rovnice? 1,2 krát −30, což je −36. 1/5 ze 30 je 6, což sedí. A pak 1,6 krát −60, což bude −96, je rovno 2 krát ds/dt, je rovno 2 krát rychlost, ve které se mění naše vzdálenost vzhledem k času. Zde na levé straně je −132. −132 je rovno 2 krát ds/dt. Vydělme obě strany 2 a dostaneme −66. Nyní můžeme napsat naše jednotky, pokud chceme, míle za hodinu, je rychlost, se kterou se mění naše vzdálenost vzhledem k času. Takže ds/dt je −66 mil za hodinu. Dává smysl, že jsme zde dostali záporné znaménko? Jistě, tato vzdálenost je klesající v okamžiku, když se blíží ke křižovatce.