Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (3/15) · 7:43

Změna poloměru a obsah kruhu Doprostřed bazénu hodíme kámen. Tím se vytvoří kruhová vlnka, jejíž poloměr na počátku známe. Známe i rychlost jeho změny. Otázka zní, jak se mění plocha uvnitř kruhu.

Navazuje na Derivace funkce II.
Řekněme, že máme bazén s vodou a do středu toho bazénu hodím kámen. Za chvíli se objeví malá vlnka, která se šíří radiálně od středu, kam jsem hodil kámen. Uvidím, jak to zvládnu nakreslit. Takže se pohybuje radiálně od středu. Toto je ta vlnka, která se utvořila tím, že jsem pustil ten kámen do vody. Takže je to kružnice se středem, kde kámen dopadl na hladinu. A řekněme, že zrovna teď je poloměr té kružnice roven 3 cm. Také víme, že se poloměr zvětšuje rychlostí 1 cm/s. Takže poloměr roste rychlostí 1 centimetr za sekundu. Takže máme-li toto dáno, naše vlnokružnice má poloměr 3 cm a víme, že poloměr roste rychlostí 1 cm/s. Toto dáno, jakou rychlostí roste plocha? Jak rychle roste obsah kruhu? Zajímavé. Zamysleme se, co známe a co neznáme - co se snažíme zjistit. Nazveme-li tento poloměr 'r', víme, že teď je 'r' rovno 3 cm. Také známe rychlost, kterou 'r' roste v čase. Také známe tuto informaci - dr/dt, rychlost růstu poloměru v čase je 1 cm/s. Co teď potřebujeme zjistit? Ptají se na to, jakou rychlostí roste obsah toho kruhu. Potřebujeme zjistit, jakou rychlostí roste obsah toho kruhu, kde 'A' je obsah toho kruhu. To je to, co potřebujeme zjistit. Bylo by užitečné, kdybychom měli vztah mezi obsahem a poloměrem toho kruhu a možná vzít derivaci podle času. A budeme k tomu muset použít řetězové pravidlo. Jaký je vztah mezi obsahem a poloměrem kruhu v libovolném čase? To je jednoduchá geometrie. Obsah kruhu je roven π krát 'poloměr kruhu na druhou'. Teď potřebujeme zjistit rychlost, se kterou se obsah mění v čase. Takže proč nevzít derivaci obou stran podle času? Udělám si tu trochu prostoru. Vlastně přepíšu to, co jsem tu měl. Obsah je π krát 'r na druhou'. Vezmu derivaci obou stran podle času. Takže derivace podle času. Neberu derivaci podle 'r', beru derivaci podle času 't'. Na levé straně budu mít derivaci obsahu. Napíšu to zeleně. Budu mít derivaci obsahu podle času na levé straně. Co mám na pravé straně? Když beru derivaci konstanty krát něco, můžu vytknout tu konstantu před derivaci. Takže to udělám. π krát derivace podle času z 'r na druhou'. Abych trochu objasnil, co hodlám udělat, proč užívám řetězové pravidlo. Předpokládáme, že 'r' je funkcí času. Kdyby nebylo 'r' závislé na čase, ani obsah by nebyl. Takže místo psaní 'r' napíšu explicitně, že je to funkcí času. Napíšu r(t). Takže je to r(t), co mocníme na druhou. A chceme najít derivaci tohoto podle času. A tady prostě musíme použít řetězové pravidlo. Bereme derivaci něčeho na druhou podle toho něčeho. Derivace toho něčeho podle toho něčeho bude 2 krát to něco na prvou. Objasním to. Tohle je derivace 'r(t) na druhou' podle r(t). Derivace něčeho na druhou podle toho něčeho. Kdyby to byla derivace 'x na druhou' podle 'x', měli bychom 2x. Tohle byla derivace r(t) na druhou podle r(t), což je 2r(t). Ale to není derivace podle času, toto je derivace podle r(t). Derivace tohoto podle toho, na čem to závisí… musíme to vynásobit rychlostí, kterou se r(t) mění v čase. Takže rychlost, kterou se r(t) mění v čase? To můžeme napsat jako dr/dt. To jsou ekvivalentní výrazy. A samozřejmě máme před tím π. Chci zdůraznit, toto je jen pravidlo o derivování složené funkce. Derivace něčeho na druhou podle času bude derivace něčeho na druhou podle toho něčeho, takže to je 2 krát to něco, krát derivace toho něčeho podle času. Musím to velmi zdůraznit. Co jsme tu udělali, to je řetězové pravidlo. Pravidlo o derivování složené funkce. π krát toto je rovno derivaci obsahu podle času. Teď to celé zase přepíšu, aby se to trochu pročistilo. Derivace našeho obsahu podle času je π krát, vlastně vytknu 2. Je to rovno 2π krát, teď už to můžu nazývat jen 'r', Víme, že 'r' je funkcí 't'. Takže jen napíšu 2π krát 'r' krát dr/dt. To 'r' udělám modře. 2π krát 'r' krát dr/dt. Teď, co všechno známe? Víme, kolik je 'r'. Víme, že 'r' v tomto čase je 3 cm. Teď je 'r' rovno 3 cm. Víme, že dr/dt je teď 1 cm/s. Víme, že je to 1 cm/s. Jaká tedy bude změna plochy kruhu? Bude to rovno… Udělám to stejnou zelenou. 2π krát 3 krát 1. To je fialová. …krát 1 cm/s. Ujistěme se, že máme správné jednotky. Máme cm krát cm, takže to bude centimetry… To je moc tmavé. …cm krát cm, takže 'centimetry na druhou' za sekundu. To jsou přesně ty jednotky, které chceme. Máme dA/dt rovno tomuto. Změna plochy vzhledem k času je rovna 6π 'cm na druhou' za sekundu. Ano, 2 krát 3 je 6. 6π 'centimetrů na druhou' za sekundu je rychlost změny plochy kruhu. A jsme hotovi.
video