Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (1/15) · 4:25

Maximum zrychlení při zadané funkci rychlosti Máme částice, která se pohybuje podél osy x. Její pohyb popisuje funkce, jejíž předpis máme zadaný. Naším úkolem je určit maximum zrychlení této částice.

Navazuje na Derivace funkce II.
Částice se pohybuje po ose 'x' tak, že její rychlost pro 't' větší nebo rovno 0 je dána funkcí: v(t) je rovno minus 't na třetí' plus 6 krát 't na druhou' plus 2t. Pro jakou hodnotu 't' má částice největší zrychlení? Chceme zjistit, kdy nabývá největšího zrychlení. Zkusme si promyslet, co známe. Víme, že rychlost je funkce času. Vzpomeňme si. Řekněme, že poloha je funkcí času. Řekněme, že x(t) je poloha jako funkce času. Pokud to zderivujeme, takže derivace 'x' podle 't', bude to změna polohy vůči změně v čase, tedy rychlost jako funkce času. Pokud zderivujeme rychlost, získáme změnu rychlosti vůči změně v čase, což je zrychlení jako funkce času. V zadání je rychlost. Z rychlosti dokážeme určit zrychlení. Přepíšu si to. Víme, že v(t) je rovno minus 't na třetí' plus 6 krát 't na druhou' plus 2t. Z toho určíme zrychlení jako funkci času, což je rovno derivaci rychlosti podle 't'. Párkrát použiji pravidlo pro derivaci mocnin. Toto je 'na třetí'… takže -3 krát 't na druhou' plus… 2 krát 6 je 12, takže plus 12t plus 2. Toto je tedy zrychlení jako funkce času. My chceme zjistit, kdy bude zrychlení největší. Od pohledu na funkci zrychlení vidíme, že je kvadratická, má polynom stupně 2, máme záporný koeficient před členem nejvyššího stupně, před členem druhého stupně. Bude to tedy parabola otevřená dolů. Nakreslím to stejnou barvou. Bude mít takový tvar. Skutečně tedy bude nabývat nějaké maximální hodnoty. Jak tuto hodnotu zjistíme? Maximální hodnoty nabyde, když hodnota zrychlení… Když bude sklon její tečny roven nule. Také bychom mohli ověřit, že je v tomto bodě konkávní směrem dolů, pomocí testu druhé derivace, tedy že hodnota druhé derivace je záporná. Podívejme se tedy na 1. a 2. derivaci naší funkce zrychlení. Takže… Vyměním barvy. Tato není moc dobře vidět. Takže první derivace, změna zrychlení vůči času, bude rovna -6t plus 12. A teď se zamysleme, kdy je toto rovno nule? Odečteme-li 12 od obou stran, dostaneme -6t se rovná -12. Obě strany vydělme -6, dostaneme, že 't' je rovno 2. Takže pár věcí. Mohli byste říct, že víte, že je to dolů otevřená parabola, máte tu záporný koeficient u členu druhého stupně. Víte, že sklon tečny je nula, když je 't' rovno 2. Takže to bude vaše maximum. Nebo byste mohli jít ještě dál, mohli byste udělat druhou drivaci. Udělejme to, jen pro zábavu. Udělejme druhou derivaci naší funkce zrychlení. Toto bude rovno -6, že? Derivace -6t je -6 a derivace konstanty je 0. Tato druhá derivace, je tedy vždy záporná. Takže jsme vždy konkávní směrem dolů a tedy podle testu druhou derivací, pro 't' rovno 2 bude druhá derivace funkce zrychlení záporná a víme, že toto je naše maximální hodnota. Naše maximum nastává pro 't' rovno 2. Pro jakou hodnotu 't' má částice nejvyšší zrychlení? Pro 't' je rovno 2.
video