Pohybové úlohy: hledání maximálního zrychlení

Hmotná částice se pohybuje po ose x. Její rychlost v libovolném čase t větším nebo rovno 0 je dána funkcí: v(t) rovná se minus (t na třetí) plus 6 krát (t na druhou) plus 2 krát t. Pro kterou hodnotu t dosáhne částice největšího zrychlení? Chceme zjistit, kdy částice dosáhne největšího zrychlení. Projděme si, co známe. Známe rychlost částice, která je zadána jako funkce času. Připomeňme si, že když máme polohu danou jako funkci času... Řekněme, že x(t) je poloha částice vyjádřená jako funkce času. Když tohle zderivujeme, tedy spočítáme ‚x‘ s čárkou v bodě t, tak to bude rychlost změny polohy vzhledem k času, tedy rychlost částice vyjádřená jako funkce času. Když zderivujeme rychlost, získáme rychlost změny rychlosti vzhledem k času, což je zrychlení částice vyjádřené jako funkce času. V zadání je rychlost a z rychlosti už dokážeme určit zrychlení. Přepíšu si to. Víme, že v(t) se rovná minus (t na třetí) plus 6 krát (t na druhou) plus 2 krát t. Z toho už určíme zrychlení jako funkci času. Bude to derivace rychlosti podle t. Několikrát použijeme pravidlo pro derivaci mocniny a vyjde nám... Toto je na třetí… Bude to −3 krát (t na druhou) plus… 2 krát 6 je 12, tohle krát t na prvou, a ještě plus 2. Toto je tedy zrychlení vyjádřené jako funkce času. My chceme zjistit, kdy bude zrychlení největší. Při pohledu na tuto funkci udávající zrychlení vidíme, že je to kvadratická funkce. Jejím předpisem je polynom druhého stupně. Vidíme, že u členu nejvyššího stupně je záporný koeficient, tedy u členu druhého stupně. Grafem tak bude parabola otevřená dolů. Nakreslím to stejnou barvou. Graf bude vypadat nějak takhle. Zrychlení tedy skutečně nabude nějakou maximální hodnotu. Jak tuto maximální hodnotu najdeme? Maximální hodnotu nabudeme, když hodnota zrychlení… Když bude směrnice tečny rovna nule. Také bychom mohli ověřit, že funkce je v tomto bodě konkávní, a to pomocí druhé derivace. Stačí ukázat, že druhá derivace je v tomto bodě záporná. Tak to udělejme. Podívejme se na první a druhou derivaci naší funkce udávající zrychlení. Takže… Změním barvu, protože tahle jde trochu špatně vidět. První derivace, tedy rychlost změny zrychlení, bude rovna −6 krát t plus 12. Teď se zamysleme, kdy se tohle rovná nule. Když od obou stran odečteme 12, dostaneme, že −6 krát t se rovná −12. Po vydělení obou stran −6 nám vyjde, že t se rovná 2. Takže pár věcí. Mohli bychom říct, že víme, že grafem je dolů otevřená parabola, protože máme záporný koeficient u členu druhého stupně. Dále víme, že směrnice tečny je nula, pro případ kdy je t rovno 2, takže to bude bod maxima. Nebo bychom mohli jít dál a spočítat druhou derivaci. Tak to udělejme, jen tak pro zábavu. Spočítejme druhou derivaci naší funkce udávající zrychlení. Bude se to rovnat −6. Derivace −6 krát t je −6 a derivace konstanty je 0. Druhá derivace je tudíž vždy záporná, což znamená, že funkce je všude konkávní. Když nyní použijeme test pomocí druhé derivace v bodě t rovno 2, tak v bodě t rovno 2 je druhá derivace funkce udávající zrychlení záporná, z čehož víme, že toto je hledaná maximální hodnota, přesněji že maximum nastává pro t rovno 2. Pro kterou hodnotu t tedy částice dosáhne největšího zrychlení? Pro t rovno 2.