Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (11/15) · 9:50

Optimalizace objemu krabice graficky Grafické vykreslení funkce objemu ke zjištění bodu maxima a jeho funkční hodnoty

Navazuje na Derivace funkce II.
Řekněme, že máme desku kartonu o rozměrech 20 x 30 palců. Pokusím se to co nejlépe nakreslit. Mohlo by to vypadat nějak takto. To je moje kartonová deska. Abychom si byli jisti rozměry, napíšu sem 20 a 30 palců. Co uděláme je, že odřežeme rohy kartonu. Všechny rohy teď budou čtverce. Vyřežeme z každého rohu čtverec o straně 'x'. Tady také 'x' krát 'x'. Jakmile ty rohy uřežeme, můžeme složit přečnívající části. Nakreslím je. Představte si, že to přeložíme zde, zde a zde. Vytvoříme krabici. V podstatě krabici bez dna, nebo krabici bez vrchní části. Jakmile všechno přeložíme, dostaneme takovou nádobu. Zkusím to nakreslit co nejlépe. Bude to vypadat takto. To je přeložená jedna přečnívající část. To samé tady. Pokud bych to přeložil i zde, bude to vypadat nějak takto. Bude to vypadat takto. Výška přečnívající části je 'x'. Tato vzdálenost je tedy také 'x'. Pokud bych to přeložil i zde… Udělám to lépe. Pokud bych přeložil i tuto část, vypadalo by to nějak takto. Zkusím to nakreslit co nejlépe. Vypadalo by to nějak takto. Pak bych přeložil tuto část. Zadní část by vypadala nějak takto. To by byla zadní část. Vypadala by nějak takto. Pokud bych přeložil tuto část zde, vypadala by nějak takto. Samozřejmě tu mám i podstavu celé krabice. Celá tato oblast by byla dnem krabice, kterou se snažím sestrojit. Chci sestrojit krabici, která bude mít největší možný objem. Chci maximalizovat objem. Toho chci dosáhnout vhodnou volbou 'x'. Přemýšlejme o objemu krabice jako o funkci proměnné 'x'. Abychom to zvládli, musíme najít rozměry krabice jako funkce proměnné 'x'. Už víme, že tento roh, který vznikne složením těchto dvou částí, bude mít stejnou výšku, jako všechny ostatní rohy. Výška této krabice bude 'x'. Ale jaká bude šířka? Jaká bude šířka krabice? Šířka bude tato vzdálenost. Ta vzdálenost bude 20 palců minus 2x. Bude to 20 minus 2x. Vidíte to zde. Celá šířka je 20. Odečtete jedno 'x', odečtete další 'x', čímž dostanete tuto šířku. Je to 20 minus 2x. Stejnou logikou, jaká je hloubka krabice? Jaká je tato vzdálenost? Ta vzdálenost je toto. Víme, že celá délka je 30 palců. Odečteme-li toto 'x' a také toto 'x', dostaneme vzdálenost, kterou hledáme. Bude to 30 minus 2x. Máme tedy všechny rozměry. Jaký bude objem jako funkce 'x'? Objem bude výška, to je 'x', krát šířka, která je 20 minus 2x, krát hloubka, jež je 30 minus 2x. Jaké jsou přístupné hodnoty 'x', které dají smysluplný objem? 'x' nesmí být menší než 0. Nemůžete udělat záporný řez. To by znamenalo přidat kus kartonu nebo něčeho. Víme, že 'x' tedy musí být větší nebo rovno 0. Napíšu to. 'x' je větší nebo rovno 0. Zároveň musí být menší než co? Nejvíce mohu uřezat… Vidíme, že tato délka růžově je 20 minus 2x. Takže i toto musí být větší než 0. Bude vždy menší než 30 minus 2x, ale 20 minus 2x musí být větší či rovno 0. Nemůžete uřezat více kartonu, než máte. Jinými slovy 20 musí být větší nebo rovno 2x, tedy 10 musí být větší nebo rovno 'x', což je jinými slovy řečeno, že 'x' musí být menší nebo rovno 10. To je jiný odstín žluté. 'x' musí být menší nebo rovno 10. 'x' tedy musí být mezi 0 a 10. Jinak bychom uřízli více, než máme k dispozici, nebo naopak přidali. Zamysleme se nad krajními body našeho objemu, v podstatě definičního oboru. Je-li 'x' rovno 0, jaký bude objem? Máme 0 krát všechno ostatní. To je jasné. Nebudeme mít žádnou výšku. Tedy nebudeme mít ani žádný objem. Objem bude nulový. Co když je 'x' rovno 10? Je-li 'x' rovno 10, pak je šířka, kterou jsem nakreslil růžově, nulová. Opět bychom neměli žádný objem. Tento člen, pokud bychom to chtěli ukázat, by byl roven 0, takže to celé by bylo 0. V nějakém místě mezi 0 a 10 je bod, ve kterém dosáhneme maximálního objemu. Než to ukážeme analyticky, pomocí matematické analýzy, ukažme to graficky. Využiji k tomu své kalkulačky TI-85. Nejdříve odhadnu obor hodnot, než se to pokusím vykreslit. Zadám svoji funkci. Navolím obor hodnot. Minimální hodnota 'x', to bude 0. 'x' nemůže být menší než 0. Maximální hodnota 'x', to bude 10. Minimální hodnota 'y', 'y' je v podstatě objem. Nebudu mít záporný objem, takže to nastavím jako 0. Maximální hodnota 'y'… Co by bylo rozumné? Vyberu náhodné 'x' a uvidíme, jaký objem dostanu. Pokud by 'x' bylo 5, bylo by to 5 krát (20 minus 10), to je 10. Bylo by to… Mám to správně? Ano, 20 minus 2 krát 5, to bude 10, pak krát 30 minus 2 krát 5, což je 20. Bylo by to 5 krát 10 krát 20, což je objem 1000 kubických palců. Jen jsem náhodně vybral číslo 5. Maximální 'y' zvolím trochu vyšší, jen pro jistotu. Náhodně jsem to vybral. Maximální 'y' tedy zvolím 1500 a pokud by to z nějakého důvodu nestačilo, tak maximální 'y' ještě navýším. To bude vhodný rozsah. Zadejme teď vlastní funkci. Objem je roven 'x' krát (20 minus 2x) krát (30 minus 2x). To se zdá v pořádku. Myslím, že to můžeme vykreslit. Zvolím si možnost vykreslit graf. Zdá se, že jsme rozsah trefili. Objem je funkce proměnné 'x' mezi 0 a 10 a zdá se, že maxima dosáhne někde tady. Teď využiji možnosti kalkulačky, abych zjistil, kde zhruba je bod maxima. Zkusím to tedy. Ještě mohu jít výše. OK Tady mám objem 1055,5. Pak 1056. 1056,20, tohle je 1056,24, pak zase 1055. Na základě toho, co říká kalkulačka, je to docela dobrý odhad maxima. Zdá se, že maximum je přibližně 1056 a děje se to kolem 'x' rovno 3,89. V bode 'x' je 3,89 je objem přibližně roven 1056 palců krychlových. Jinými slovy, maxima dosáhneme v 'x' rovno asi 3,89. Máme tedy příklad na maximalizaci a pokusili jsme se na to podívat graficky. V dalším video se to pokusíme vyřešit analyticky, pomocí nástrojů matematické analýzy.
video