Optimalizační úlohy: objem krabice (část 1)

Řekněme, že máme desku kartonu o rozměrech 20 krát 30 palců. Pokusím se ji co nejlépe nakreslit. Mohla by vypadat nějak takto. Toto je moje kartonová deska. Abychom nezapomněli její rozměry, tak sem napíšu 20 a 30 palců. Nyní odřežeme rohy této desky. Všechny odříznuté rohy budou čtverce. Z každého rohu odřízneme čtverec o straně x. Jakmile tyto rohy uřežeme, můžeme přeložit přečnívající části. Nakreslím je. Představte si, že to přeložíme zde, zde a zde, čímž vytvoříme krabici. V podstatě krabici bez dna, nebo krabici bez víka. Jakmile všechno přeložíme, dostaneme takovouto krabici. Zkusím to nakreslit co nejlépe. Bude to vypadat takto. Toto je jedna přeložená přečnívající část. Jde o tuto přečnívající část. Když ji takto přeložím nahoru, bude to vypadat nějak takto. Výška přečnívající části je x. Tato vzdálenost je tedy x. Když přeložím tuto část... Nakreslím to trochu lépe. ...když přeložím nahoru i tuto část, bude to vypadat nějak takto. Snažím se to nakreslit co nejlépe. Vypadalo by to nějak takto. Potom bych nahoru přeložil tuto zadní část. Zadní část by tedy vypadala nějak takto. To by byla zadní část. Bude vypadat nějak takhle. A když nahoru přeložím tuto část, bude to vypadat nějak takto. Samozřejmě tu mám i podstavu celé krabice. Celá tato část bude dnem krabice, kterou se snažím vyrobit. A tuhle krabici chci vyrobit tak, aby měla co největší možný objem. Chci maximalizovat to, kolik se toho do ní vejde, a chci toho dosáhnout tak, že vhodně zvolím x. Zamysleme se, čemu se objem krabice rovná jakožto funkce proměnné x. Abychom to zvládli, musíme všechny rozměry krabice vyjádřit jako funkci proměnné x. Už víme, že tento roh, který vznikne složením těchto dvou částí, bude mít stejnou výšku jako všechny ostatní rohy. Výška této krabice bude x. Ale jaká bude šířka? Jaká bude šířka této krabice? Šířka krabice bude tato vzdálenost. Tato vzdálenost bude 20 palců minus 2 krát x. Toto tedy bude 20 minus 2 krát x. Vidíte to zde. Tato celá vzdálenost je 20, od ní odečteme jedno x i druhé x, čímž dostaneme tuto vzdálenost. Je to tedy 20 minus 2 krát x. Když nyní použijeme stejnou logiku, čemu se rovná hloubka krabice? Jaká je tato vzdálenost? To odpovídá této vzdálenosti. Víme, že tato celá vzdálenost je 30 palců. Když odečteme toto x a také tohle x, dostaneme vzdálenost, kterou hledáme. Tohle tedy bude 30 minus 2 krát x. Nyní už známe všechny rozměry, takže jak vyjádříme objem jako funkci proměnné x? Objem vyjádřený jako funkce x se rovná výška, což je x, krát šířka, která je 20 minus x... Pardon, 20 minus 2 krát x. ...krát hloubka, a ta je 30 minus 2 krát x. Pro které hodnoty x dostaneme smysluplný objem? x nemůže být menší než 0. Nemůžeme uříznout zápornou délku. To by znamenalo nějak přidat další kus kartonu. Víme tedy, že x musí být větší nebo rovno 0. Napíšu si to. x je větší nebo rovno 0. Zároveň ale musí být menší než co? Nejvíce mohu odříznout… Vidíme, že tato růžová délka je 20 minus 2 krát x. Toto musí být také větší než 0. Bude to vždy menší než 30 minus 2 krát x, ale 20 minus 2 krát x musí být větší nebo rovno 0. Nemůžeme uřezat více kartonu, než kolik ho máme. Jinými slovy 20 musí být větší nebo rovno 2 krát x, tedy 10 musí být větší nebo rovno x, což je jinými slovy řečeno, že x musí být menší nebo rovno 10. To je jiný odstín žluté. x musí být menší nebo rovno 10. x tedy musí být mezi 0 a 10. Jinak bychom uřízli více, než kolik máme k dispozici, nebo bychom naopak přidali. Nejprve se podívejme na objem pro krajní body našeho de facto definičního oboru, tedy čísel, kterých x může nabývat, aby měl objem smysl. Když je x rovno 0, čemu se rovná objem? Máme 0 krát všechno ostatní, takže to je jasné. Nebudeme mít žádnou výšku, takže nebudeme mít ani žádný objem. Objem tedy bude nulový. A co objem když je x rovno 10? Když je x rovno 10, tak je šířka krabice, kterou jsem nakreslil růžově, nulová, takže bychom opět neměli žádný objem. Algebraicky to zdůvodníme tak, že tento výraz je roven 0, takže i to celé je 0. Někde mezi body x rovno 0 a x rovno 10 je tedy bod, ve kterém dosáhneme maximálního objemu. Než to uděláme analyticky pomocí diferenciálního počtu, udělejme to graficky. Využiji k tomu svou kalkulačku TI-85. Nejdříve nastavím meze definičního oboru a oboru hodnot, ještě než udělám graf. Sem zadám svoji funkci. Nyní zadám meze pro x a y. Nejmenší hodnota x bude 0, protože víme, že x nemůže být menší než 0. Největší hodnota x bude 10. Nejmenší hodnota y, přičemž y je v podstatě objem... Určitě nebudu mít záporný objem, takže to nastavím jako 0. Největší hodnota y… Co by bylo rozumné? Vyberu nějaké náhodné x a uvidíme, jaký objem dostanu. Pokud by x bylo 5, objem by byl 5 krát (20 minus 10), což je 5 krát 10. Bylo by to… Mám to správně? Ano, 20 minus (2 krát 5), to je 10, a pak krát 30 minus (2 krát 5), což je 20. Bylo by to tedy 5 krát 10 krát 20, což je objem 1000 kubických palců. Číslo 5 jsem jen tak náhodně vybral. Největší hodnotu y tedy zvolím trochu vyšší, kdyby nešlo o maximální objem. Největší hodnotu y zvolím jako 1500 a pokud by to z nějakého důvodu nestačilo, tak největší hodnotu y ještě navýším. Toto by měly být dobré meze. Nyní zadejme funkci samotnou. Objem je roven x krát (20 minus 2 krát x) krát (30 minus 2 krát x). To se zdá být v pořádku, takže myslím, že to můžeme vykreslit. Zvolím si možnost vykreslit graf. Zdá se, že meze jsme trefili. Toto je tedy objem jako funkce proměnné x pro x mezi 0 a 10 a vypadá to, že zhruba někde tady dosáhneme maxima. Teď využiji možnosti kalkulačky, abych zjistil, kde zhruba je bod maxima. Tak já to zkusím. Ještě mohu jít výše. Tady mám objem 1055,5. Pak 1056. Potom tady mám 1056,20, tady je 1056,24, a potom už mám zase 1055. Na základě toho, co říká kalkulačka, je tohle docela dobrý odhad maxima. Zdá se, že maximum je přibližně 1056 a nastává někde okolo bodu x rovno 3,89. V bodě x rovno 3,89 je objem přibližně roven 1056 palců krychlových. Nebo můžeme říci, že maxima dosáhneme pro x rovno přibližně 3,89. Zatím jsme si tedy připravili naši úlohu a zkusili se na ni podívat graficky. V dalším videu se to pokusíme vyřešit analyticky pomocí diferenciálního počtu.