Aplikace derivací
Přihlásit se
Aplikace derivací (5/19) · 9:54

Konvexnost a konkávnost funkce Vysvětlení pojmu konvexní a konkávní funkce. Jak se tyto vlastnosti projevují graficky a jak souvisí s druhou derivací funkce?

Navazuje na Derivace funkce.
Máme tady žlutě nakreslený graf funkce y = f(x). Tady je v jiné barvě graf funkce y se rovná derivace f neboli y = f'(x). A dále v modré barvě je graf funkce y = f''(x) neboli druhá derivace f. Takže toto je derivace této funkce, tedy první derivace. Už jsme viděli, jak lze zjistit minimum a maximum funkce. Samozřejmě, pokud před sebou vidíme grafy, lehce poznáme, že tady je lokální maximum. Funkce zde totiž nabývá vyšších hodnot než ve svém okolí. A podobně zde je minimum. Je lokální, protože funkce nabývá také nižších hodnot. Viděli jsme, že i když nemáme před sebou graf, ale předpis, který umíme zderivovat, můžeme zjistit, že tyhle body jsou minimum nebo maximum. Co jsou kritické body funkce? To jsou ty, kde funkce buď nemá definovanou derivaci, nebo ji má nulovou. Tohle je derivace naší funkce. Má nuly tady a tady, takže těmhle bodům říkáme "kritické". Ještě nevidím žádný nedefinovaný bod. Takže těmhle dvěma bodům říkáme kritické body a jsou to kandidáti na místa, kde má funkce možná minimum či maximum. Co přesně se děje, jsme určili tak, že jsme se podívali na chování derivace okolo tohohle bodu a viděli jsme, že derivace je nejdřív kladná a pak záporná. Když jde derivace z plusu do minusu při překročení tohoto bodu, znamená to, že funkce se změnila z rostoucí na klesající. Když je derivace kladná, funkce roste, jak se blížíme k bodu zleva, a pak funkce klesá, jak jdeme napravo od bodu, Znamená to, že ten bod je lokálním maximumem. Když se k bodu blížíme zleva, funkce stoupá, a když ho opouštíme, tak klesá. To rozhodně bude maximum. Podobně, když se podíváme sem, vidíme, že derivace je záporná, jak se k tomu bodu blížíme zleva, což znamená, že funkce klesá. A jak vidíme, když ten bod opouštíme zprava, derivace je najednou kladná. Měli jsme zápornou derivaci a teď ji máme kladnou, tedy funkce byla nejdřív klesající a pak rostoucí, což nám říká, že tenhle kritický bod je minimem. A teď bych chtěl věci trochu rozšířit tím, že zavedu pojem konkávita. Vím, že to možná špatně vyslovuji, možná to je kon-ka-vi-ta, ale víte, co tím myslím. Podívejme se na druhou derivaci. Zamysleme se nad tím, jestli je tenhle bod minimum nebo maximum. Co se děje v téhle první oblasti? Tahle část té křivky, která vypadá trochu jako oblouk, se otevírá směrem dolů. Vypadá to tam trochu jako A bez čáry uprostřed nebo jako obrácené U. Budeme přemýšlet o tom, co se děje v tomhle jakoby převráceném U na křivce. Na prvním intervalu, když jdeme zleva, je směrnice hodně... ...na to vlastně použiji stejnou barvu, jakou jsem použil do derivaci... ...hodně kladná. Pak je čím dál tím míň kladná, pak ještě míň, a nakonec dosáhne nuly. Potom se ale pořád snižuje, teď je trochu záporná, pak trochu víc, a nakonec se přestane snižovat. Vypadá to, jako by tady přestala klesat. Směrnice funkce tady přestane klesat. Tady je červeně vidět, že směrnice stále víc klesá, a nakonec se dostane sem a začne růst. Takže na celé této oblasti směrnice klesá. Jak je tady vidět, když to zderivujeme, pak na celém intervalu derivace klesá. Co vidíme, když se podíváme na druhou derivaci? Když první derivace klesá, tak druhá derivace, tedy derivace derivace, je záporná, a vidíme, že tohle opravdu platí na celém tomto intervalu. Druhá derivace je skutečně záporná. A teď, co se stane, když přecházíme do oblasti, kde křivka vypadá jako U? No tady je ta derivace vcelku záporná, ale pak se začne pomalu zvětšovat. Je pořád záporná, ale už trochu méně, a ještě méně dokud se nerovná 0. A pak je stále více kladná, jak je tady vidět. Takže na celém tomhle intervalu směrnice, tedy i derivace, roste. Tedy směrnice je rostoucí. A jak je tady vidět, v tomhle bodě je směrnice nulová. Směrnice derivace je nula, samotná derivace se právě teď vůbec nemění, a teď je vidět, že směrnice roste. A znova si můžeme představit, jak bude vypadat druhá derivace, derivace derivace. Jestli je derivace rostoucí, tak derivace derivace musí být kladná. A to opravdu platí, derivace derivace je kladná. Pro ty části, kde funkce vypadá jako U směrem dolů a U směrem nahoru, máme označení. Tomuhle říkáme konkávní a tomuhle konvexní. Pojďme si zopakovat, jak to určíme. Když mluvíme o konkávních intervalech, vidíme několik věcí. Vidíme, že směrnice je klesající. To, že směrnice klesá, je to samé jako kdybych řekl, že derivace funkce f, klesá. To je jiný způsob, jak říct, že druhá derivace musí být záporná. Jestli první derivace klesá, tak potom druhá derivace musí být záporná. Což je to samé, jako že druhá derivace na tomto intervalu musí být záporná. Tedy když máme zápornou druhou derivaci, nacházíme se na konkávním intervalu, na intervalu tvaru "obráceného U". Pojďme si stejně představit konvexní interval, kde funkce má tvar "U". Konvexní. Na těhle intervalech směrnice roste, máme zápornou směrnici, méně zápornou, méně zápornou, nulovou, kladnou, kladnější, ještě kladnější... Takže směrnice roste, což znamená, že derivace téhle funkce je rostoucí. A jak vidíte tady, hodnota derivace roste. Tedy druhá derivace na tomto konvexním intervalu musí být větší než nula. Když je druhá derivace větší než nula, tak potom první derivace roste, takže se zvětšuje směrnice. Nacházíme se na konvexním intervalu. Teď když máme všechny tyto definice konvexních a konkávních intervalů, dokážeme vymyslet způsob, jak zjistit, jestli je kritický bod je minimum, nebo maximum? Když máme maximum, máme kritický bod, kde je funkce konkávní, tak potom bude ten bod maximum. Pojďme si tohle ujasnit, konkávní znamená, že se takhle otevírá dolů, Mluvíme o kritickém bodu, pokud předpokládáme, že je funkce tady konkávní, předpokládáme na celém tohle intervalu diferencovatelnost, kritický bod má nulovou derivaci takže to bude tento bod. A když máme konkávní funkci a máme bod, kde derivace je nula, pak tento bod je maximem. A podobný je případ, kdy jsme na konvexním intervalu, který vypadá nějak takhle, a našli jsme na něm kritický bod. Samozřejmě kritický bod může též být ten, ve kterém funkce není definovaná, ale když předpokládáme, že první i druhá derivace jsou definované, tak kritický bod bude ten, kde první derivace je rovna nule. A když jsme na konvexním intervalu, tedy když je druhá derivace kladná, tak je celkem zřejmé, že se jedná o minimum, tedy že funkce má v tomto bodě svoje minimum.
video