Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (12/15) · 8:52

Úvod do l'Hospitalova pravidla L'Hospitalovo pravidlo se hodí pro limity typu 0/0 nebo nekonečno-nekonečnem.

Navazuje na Derivace funkce II.
První věc co děláme, když se poprvé dozvíme o počtech je použití limit. Používáme limity k výpočtu derivací funkcí. Ve skutečnosti definice derivace používá pojem limita. Derivací získáme sklon tečny v bodě, který vznikl limitním zmenšováním vzdálenosti bodů. To jste již viděli mnohokrát. V tomto videu si to ukážeme v opačném směru. Použijeme derivace k výpočtu limit. Zejména k výpočtu limit v neurčitém tvaru. Neurčitým tvarem myslím, když vezmu limitu tak, jak je a vyjde nám 0 děleno 0 nebo plus nekonečno děleno plus nekonečnem nebo minus nekonečno děleno plus nekonečno nebo minus nekonečno děleno minus nekonečno nebo plus nekonečno děleno minus nekonečnem. Všechny jsou neurčité a nedefinované. K výpočtu takovýchto limit použijeme l'Hospitalovo pravidlo. V tomto videu vám pouze ukáži, co nám l'Hospitalovo pravidlo říká a jak jej můžeme využít, protože je velmi přímočaré a užitečné. Až někdy budete na nějaké matematické soutěži a zeptají se vás na řešení složité limity, do které když dosadíte čísla, vyjde vám nějaký takovýto neurčitý výraz. Pak vás testují na l'Hospitalovo pravidlo. V budoucím videu si ho i dokážeme, ale to je trochu víc komplikované. Aplikace je ve skutečnosti velmi přímočará. Co nám tedy l'Hospitalovo pravidlo říká? Nejdřív vám to ukáži obecně, ale až vám ukáži příklad, bude vám to hned jasné. Nechť se limita ,x' blížící se k ,c' z f(x) rovná 0 a limita ,x' blížící se k ,c' z g(x) se rovná také 0 a limita, kde ,x' se blíží k ,c' z derivace f(x) děleno derivace g(x) existuje a je rovna nějakému číslu L. Všechny tyto podmínky platí. Máme zde nedefinovaná tvar 0 děleno 0, takže zde máme první případ. Pak můžeme říct, že limita ,x' blížící se k ,c' z f(x) děleno g(x) se bude také rovnat L. Tohle vám může připadat trochu bizardní. Nyní vám napíši druhý případ a pak si ukážeme příklad. Tedy spíš několik příkladů a ty vám vše ujasní. Toto je první případ a příklad, který si ukážeme, ve skutečnosti bude spojen s tímhle případem. Další případem je, když je limita ,x' blížící se k ,c' z f(x) rovna plus nekonečno nebo minus nekonečno a limita x blížící se c z g(x) je rovna plus nekonečno nebo minus nekonečno. A zároveň můžu říct, že podíl derivací existuje a limita ,x' blížící se k ,c' z derivace f(x) děleno derivace g(x) se rovná L. Můžeme říct stejné prohlášení. Nechte mě to zkopírovat. Editovat, kopírovat a vložit. Ujistěte se v těchto případech, že víte, o čem je řeč. Pokud v tomto případě zkusíte vypočítat limitu, po dosazení ,c' do f dostaneme 0. Nebo-li limita ,x' blížící se k ,c' z f(x) děleno limita ,x' blížící se k ,c' z g(x). Vyjde vám 0 děleno 0. My ale nevíme, kolik je ta limita. Ale tohle nám to říká. Pokud limity existují, mohu vzít derivace jejich funkcí a vypočítat jejich limitu. Pokud dostanu číslo, pak mají stejnou limitu. Toto je situace, kde pokud vezmeme limitu, dostaneme nekonečno děleno nekonečnem nebo minus nekonečno děleno plus nekonečnem nebo minus nekonečno děleno minus nekonečnem. Máme druhý nedefinovaný výraz. Abych vám vše objasnil, dovolte mi udělat příklad, protože si myslím, že mnoho věcí objasní. Řekněme, že se snažíme najít limitu. Použiji novou barvu. Dovolte mi to napsat purpurovou barvou. Řekněme, že chceme najít limitu ,x' blížící se k 0 z sin(x) děleno x. Vidíme, že pokud dosadíme 0 nebo limitu pošleme do 0 v obou funkcích, dostaneme něco ve smyslu 0 děleno 0. Sinus 0 je 0. Nebo limita ,x' blížící se 0 ze sin(x) je 0. Samozřejmě, když se ,x' blíží 0 z ,x', pak to bude také 0. To je náš nedefinovaný výraz. Pokud nad tím chcete přemýšlet, sin(x) je naše f(x) a naše g(x) je zde x. g(x) se rovná x a f(x) se rovná sin(x). Všimněte si, že to splňuje první dvě podmínky. Limita ,x' blížící se k 0 ...v tomto případě je ,c' 0... ze sin(x) je 0: sin(0) je 0 a limita ,x' blížící se k 0 z x je také rovna 0. Dostali jsme nedefinovaný výraz. Podívejme se, zda-li tyto limity vůbec existují. Máme tedy podíl derivací funkcí f(x) a g(x) a limita podílu jde do 0. Tedy v tomto případě je 0 naše ,c'. Podívejme se, zda limity existují. Budu psát modře. Napíšeme derivace našich dvou funkcí Pokud f(x) je sin(x), jaká je derivace f(x)? No přeci cos(x). Učili jste se to již mnohokrát. Pokud g(x) je x, jaká je derivace g(x)? To je super jednoduché. Derivace x je 1. Limita ,x' blížící se k 0 z derivace f(x) děleno derivace g(x). To bude limita ,x' blížící se k 0 z cos(x) děleno 1. Napsal jsem tu jedničku trochu zvláštně. Nyní je to velmi přímočaré. Kolik to může být? Pokud x je 0, pak cos(x) bude roven 1. Samozřejmě limita ,x' blížící se k 0 z 1 bude též rovna 1. V této situaci vidíme, že limita ,x' blížící se k ,c', v tomto případě 0, tedy ,x' blížící se k 0 z derivace f(x) děleno derivace g(x) je rovna 1. Limita existuje a je rovna 1, splnili jsme tedy všechny podmínky Toto je příklad, který jsme počítali. Limita ,x' blížící se k 0 ze sin(x) je rovna 0. Limita ,x' blížící se k 0 z x je rovna 0. Limita podílu derivace sin(x) a derivace x je podíl cos(x) a 1. Zjistili jsme, že je rovna 1. Všechny podmínky nahoře jsou splněny, proto víme, že toto musí být případ, kde limita ,x' blížící se k 0 ze sin(x) děleno x je rovna 1. Musí mít stejnou limitu jako jsme vypočítali zde, derivace f(x) a g(x). Udělám více příkladů v dalších videích. A budou mnohem konkrétnější.
video