Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (13/15) · 7:43

Příklad: L'Hospitalovo pravidlo 1 Použití L'Hospitalova pravidla pro výpočet limity v bodě 0 výrazu (2sinx-sin2x)/(x-sinx).

Navazuje na Derivace funkce II.
Řekněme, že potřebujeme vypočítat limitu, kdy ‚x‘ jde k 0 z 2 krát sin(x) minus sin(2 krát x) to celé děleno x minus sin(x). První věc, kterou vždy zkouším, když vidím nějakou limitu, je zjistit, co vyjde po dosazení 0 za ‚x‘ do dané funkce. Možná se nestane nic bláznivého. Zkusme to. Pokud za ‚x‘ dosadíme 0, co se stane? Dostaneme 2 sinus 0, což je 0 minus sinus (2 krát 0) což je sin(0) a to je také rovno 0. Náš čitatel bude roven 0 Sinus 0 je 0. Tady máme další sinus 0, což je další 0, všechny jsou nuly. Náš jmenovatel, máme 0 mínus sinus 0, což je také 0. Máme neurčitý výraz, nedefinované 0 děleno 0, o kterém jsem mluvili dříve. Možná můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo. Pro použití l'Hospitalovo pravidla musí limita pro ‚x‘ blížící se k 0 derivace této funkce děleno derivací této funkce existovat. Použijme l'Hospitalovo pravidlo, vezměme derivace obou funkcí, a uvidíme, zda-li dokážeme najít jejich limitu. Pokud ano, našli jsme zároveň původní limitu. Za předpokladu, že limita existuje, toto bude rovno limitě ‚x‘ blížící se k 0 derivaci čitatele lomeno derivace jmenovatele. Jaká je derivace čitatele? Použiji novou barvu, třeba zelenou. Derivace 2 krát sin(x) je 2 krát cos(x) a derivace sin(2 krát x) je 2 krát cos(2 krát x) takže minus 2 krát cos(2 krát x). Použili jsme derivaci složené funkce, derivace vnitřní funkce je rovna 2. To je ta 2 před cosinem. Derivace vnější funkce je cos(2 krát x) a máme tu ještě minus. Vypočítali jsme derivace čitatele. Jaká je derivace našeho jmenovatele? Derivace x je 1 a derivace sin(x) je cos(x) takže 1 minus cos(x). Zkusme vypočítat tuto limitu. Co dostaneme? Pokud dosadíme 0 sem, dostaneme 2 krát cos(0), což je 2. 2 krát cos(0) je 2 krát 1, což je 2 2 minus 2 krát cos(2 krát 0) Zapišme to takto. Pokud přímo vypočítáme limitu čitatele a jmenovatele, co dostaneme? Dostaneme 2 krát cos(0), což je 2, minus 2 krát cos(2 krát 0) 2 krát 0 je pořád 0 a minus 2 krát cos(0) je 2. To vše děleno 1 minus cos(0), což je 1. Takže opět zde máme neurčitý výraz 0 děleno 0. Znamená to, že limita neexistuje? Ne, pořád může existovat, jen potřebujeme použít l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou. Vypočítáme derivaci derivace našich funkcí a podělíme je. Uděláme z toho limitu a možná nám tentokrát l'Hospitalovo pravidlo pomůže. Podívejme se, zda-li se někam dostaneme. Mělo by to být rovno limitě l'Hospitalovo pravidla aplikovaného zde. Nejsme si 100% jistí. Může to být rovno limitě ‚x' blížící se k 0 z derivace již jednou námi zderivovaných funkcí. Jaká je derivace 2 krát cos(x)? Derivace cos x je −sin(x) Takže minus 2 krát sin(x), derivace cos(2 krát x) je −2 krát sin(2 krát x). Minus se nám vyruší s minusem u 2 a 2 krát 2 je 4. Řešení je tedy 4 sin(2 krát x). Zkontrolujme, zda-li jsme to vypočítali správně. Máme minus 2 nebo −2 venku. Derivace cos(2 krát x) je 2 krát −sin(x), a zároveň 2 krát 2 je 4. −sin(2 krát x) krát minus je plus sin(2 krát x) Jde jen o procvičení derivací. Jaká je derivace jmenovatele? Derivace 1 je 0. A jaká je derivace −cos(x)? Je to sin(x). Pokud z toho uděláme limitu, čemu se to bude rovnat? Když ‚x‘ ve jmenovateli jde k 0, tak dosadím a sin(x) je 0. Podívejme se na čitatel. −2 krát sin(0), což je 0, plus 4 krát sin(2 krát 0). To je pořád 0, takže čitatel je roven 0. Opět zde máme nedefinovaný výraz. Jsme u konce? Vzdáme to? Řekneme, že l'Hospitalovo pravidlo nefunguje? Ne, protože toto může být zadání našeho dalšího příkladu. Pokud toto uvidíme jako zadání příkladu, řekneme si, že zde možná mohu použít l'Hospitalovo pravidlo, protože nám vychází nedefinovaný výraz. Čitatel i jmenovatel je roven 0 pro ‚x' blížící se k 0. Zkusme funkce zderivovat znovu. To se bude rovnat... ...pokud tedy limity existují... ...limitě ‚x‘ blížící se k 0. Zderivujeme čitatel. Derivace −2 krát sin(x) je −2 krát cos(x) plus derivace 4 krát sin(2 krát x) 2 krát 4 je 8, krát cos(2 krát x), protože derivace sin(2 krát x) je 2 krát cos(2 krát x). Ta 2 se vynásobí se 4 a dostaneme 8. Derivace jmenovatele je derivace sin(x), což se rovná cos(x). Zkusme dosadit. Vypadá to, že jsme udělali určitý pokrok nebo možná přestaneme aplikovat l'Hospitalovo pravidlo. Limita ‚x‘ blížící se 0 z cos(x) je 1. Určitě nedostaneme nedefinovaný výraz 0 děleno 0 v tomto kroku. Podívejme se, co se stalo s čitatelem, −2 krát cos 0. To je −2, protože cos(0) je rovno 1. K tomu přičteme 8 krát cos(2 krát x). Jelikož x je 0, pak cos(2 krát x) je roven cos(0) což je 1. To se bude rovnat 8. −2 plus 8 je 6, to celé děleno 1. Celý výraz je roven 6 Tedy L'Hospitalovo fungovalo i na tento příklad. Pokud dostaneme takový příklad a zkusíme dosadit z limity, dostaneme, že limita čitatele jdoucí k 0 je rovna 0 a to samé vyjde u jmenovatele. Derivace čitatele děleno derivací jmenovatele existuje a je rovna 6. Limita musí být rovna 6 Pokud je tato limita rovna 6, pak ze stejných důvodů je tato limita rovna také 6. Ze stejného důvodu je i tato limita rovna 6. A máme hotovo..
video