Praktické aplikace derivací
Přihlásit se
Praktické aplikace derivací (14/15) · 5:16

Příklad: L'Hospitalovo pravidlo 2 Nalezení limity v nekonečnu pro výraz (4x²-5x)/(1-3x²) pomocí L'Hospitalova pravidla.

Navazuje na Derivace funkce II.
Potřebujeme vypočítat limitu ‚x' blížící se k nekonečnu z 4 krát x na druhou minus 5 krát x to celé děleno 1 minus 3 krát x na druhou. Nekonečno je takové zvláštní číslo. Nemůžete dosadit nekonečno a podívat se, co se stane. Pokud chcete vypočítat tuto limitu, můžete zkusit vypočítat limitu pro hodně veliká čísla a zjistit, jak se bude limita blížící se k nekonečnu chovat. Čitatel se blíží nekonečnu, protože ‚x' se blíží k nekonečnu. Pokud dosadíte opravdu veliké číslo do jmenovatele, uvidíte, že to není tak úplně nekonečno. 3 krát x na druhou se blíží nekonečnu, ale my ho odečítáme. Pokud odečítáme nekonečno od nějakého konečného čísla, výsledek je −nekonečno. Pokud vypočítáme funkci v nekonečnu, čitatel bude nekonečno. Jmenovatel bude −nekonečno. Zapíši to takto. To je jeden z nedefinovaných výrazů, na který můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo. Pravděpodobně říkáte, proč používám l'Hospitalovo pravidlo. Vím, jak to vypočítat bez použití tohoto pravidla. A vy pravděpodobně také, alespoň měli byste. To si ukážeme dále. Ukážu vám, že l'Hospitalovo pravidlo lze použít i na tento typ nedefinovaných výrazů a ukázat vám příklad, který obsahuje nedefinovaný výraz nekonečno děleno −nekonečno nebo +nekonečno. Použijme l'Hospitalovo pravidlo. Nechť limita nebo limita podílu derivací výrazů existují, pak je limita rovna limitě ‚x' blížící se k nekonečnu derivace čitatele. Zderivujme čitatele. Derivace 4 krát x na druhou je 8 krát x minus 5 děleno derivací jmenovatele. Derivace 1 je 0 a derivace −3 krát x na druhou je −6 krát x Pokud vypočítáte limitu, čitatel se blíží +nekonečnu a jmenovatel se blíží −nekonečnu. −6 krát nekonečno je −nekonečno. To je −nekonečno. Použijme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou. Pokud existuje limita derivace této funkce, pokud existuje racionální funkce derivace čitatele děleno derivací jmenovatele, pak bude rovna limitě ‚x' blížící se k nekonečnu. ...změním barvu... derivace 8 krát x minus 5 to je 8. Derivace −6 krát x je −6 Což je konstanta. Nezáleží na tom, že se limitně blížíme do nekonečna, pořád to bude toto číslo. Což je? Pokud zlomek pokrátíme −4 děleno 3 Limita existuje. Toto byl nedefinovaný výraz. Limita derivace této funkce děleno derivací této funkce existuje a musí také být rovna −4 třetiny. Ze stejného důvodu musí být i tato limita −4 děleno 3. Někteří si říkáte, že jste již věděli, jak to vypočítat. Mohli jsme vzít koeficienty před x na druhou. Máte naprostou pravdu. Hned vám to ukážu. Chtěl jsem vám ukázat, že l'Hospitalovo pravidlo není jediným maršálem ve městě. A upřímně řečeno, můj první krok pro tento typ příkladů nebude l'Hospitalovo pravidlo. Můžete říct, že první limita pro ‚x' blížící se k nekonečnu z 4 krát x na druhou minus 5 krát x to celé děleno 1 minus 3 krát x na druhou je rovna limitě pro ‚x' blížící se k nekonečnu... ...nakreslím zde malou čáru, aby bylo vidět, že se rovná této limitě a ne této limitě... To se rovná limitě ‚x' blížící se nekonečnu. Vytkněme x na druhou z čitatele a ze jmenovatele. Máme x na druhou krát 4 minus 5 děleno x. Správně? x na druhou krát 5 děleno x je 5 krát x. Děleno... vytkněme x z čitatele. x na druhou krát (1 děleno x na druhou minus 3). Členy x na druhou se pokrátí. To se rovná limitě ‚x' jdoucí do nekonečna z (4 minus 5 děleno x) děleno (1 děleno x na druhou minus 3). Čemu se to rovná? x jde do nekonečna, 5 děleno nekonečnem je 0. Super velký nekonečný jmenovatel, proto zlomek jde k 0. Celé se to blíží 0. Stejný důvod. Výraz vpravo se blíží 0. Vše co zbylo je 4 děleno −3. Limita se rovná 4 děleno −3, neboli −4 třetiny. Nepotřebovali jsme zde použít l'Hospitalovo pravidlo.
video