L'Hospitalovo pravidlo: těžší příklad

Chceme vypočítat limitu ‚x‘ blížící se k 1 z výrazu: x děleno (x minus 1) minus 1 děleno přirozený logaritmus x. Podívejme se, co se stane, pokud dosadíme 1. Co se stane, pokud do prvního výrazu dosadíme 1? Dostaneme 1 děleno (1 minus 1). Máme 1 děleno 0 minus 1 děleno… Kolik je přirozený logaritmus z 1? ‚e‘ na kolikátou se rovná 1? Cokoliv na nultou se rovná 1, takže ‚e‘ na nultou se rovná 1, tím pádem se přirozený logaritmus 1 rovná 0. Získali jsme divné, nedefinované 1 děleno 0 minus 1 děleno 0. Je to zvláštně vypadající nedefinovaný výraz. Ale není to nedefinovaný výraz pro l'Hospitalovo pravidlo. Nezískali jsme 0 děleno 0 nebo nekonečno děleno nekonečnem. Řeknete: "Počkat, to ale není příklad na l'Hospitalovo pravidlo." Musíme tuto limitu vyřešit jiným způsobem. Já pouze řeknu, nevzdávejme to příliš brzo. Možná můžeme výraz upravit do takového tvaru, aby nám vycházel nedefinovaný výraz pro l'Hospitala a potom ho můžeme použít. Abychom to mohli udělat, podívejme se, co se stane, když dáme tyto 2 výrazy na společného jmenovatele. Společný jmenovatel je (x minus 1) krát přirozený logaritmus x. Pouze jsem vynásobil jmenovatele. Když vynásobím celý výraz v čitateli přirozeným logaritmem x, bude to x krát přirozený logaritmus x a celý tento výraz vynásobím (x minus 1). Takže minus x minus 1. Můžete vidět, že tento výraz je s tímto výrazem ekvivalentní. Tento výraz je stejný jako x děleno (x minus 1), protože přirozený logaritmus se pokrátí. Tohle si vymažu. Tato část je stejná jako 1 děleno přirozeným logaritmem x, protože x minus 1 se pokrátí. Uvědomte si, že jediné, co jsem udělal, bylo přidání těchto dvou výrazů. Podívejme, co se stane, pokud vypočítáme limitu: ‚x‘ blížící se k 1 z upraveného výrazu. Protože jsou stejné. Dostaneme něco zajímavého? Co tu máme? 1 krát přirozený logaritmus 1. Přirozený logaritmus 1 je 0, takže první člen je roven 0 minus (1 minus 1), to je další 0. Čitatel se rovná 0. Ve jmenovateli budeme mít 1 minus 1, což je 0, krát přirozený logaritmus 1 se rovná 0, takže 0 krát 0 je 0. A máme to. Máme nedefinovaný výraz, který potřebujeme pro l'Hospitalovo pravidlo. Můžeme vzít derivaci čitatele a vydělit ji derivací jmenovatele. Pokud takové limity existují. Zkusme to. Pokud limity existují, bude se to rovnat limitě ‚x‘ blížící se k 1… Derivace napíši fialově. Napíši derivaci čitatele. Na první výraz použiji derivaci součinu. Derivace ‚x‘ je 1, takže 1 krát přirozený logaritmus x, derivace prvního členu krát druhý člen. Dále přičteme derivaci druhého členu, což je 1 děleno x, krát první člen. Je to jen pravidlo derivace součinu. 1 děleno x krát x je 1. Minus derivace x minus 1. Derivace z (x minus) 1 je 1, takže druhý výraz bude roven −1. To celé dělíme derivací jmenovatele. Spočtěme derivaci jmenovatele. Derivace prvního členu, x minus 1, je 1. To násobíme druhým členem, přirozeným logaritmem z x. Pak přičteme derivaci druhého členu. Derivace přirozeného logaritmu x je 1, děleno x krát první člen, x minus 1. Můžeme to trochu zjednodušit. 1 děleno x krát x je 1. Pak odečteme 1. Celý tento výraz se nám vyruší. Celý výraz může být přepsán jako limita pro ‚x‘ jdoucí k 1... V čitateli je pouze přirozený logaritmus x, fialově, a jmenovatel je přirozený logaritmus x plus (x minus 1) děleno x. Vypočítejme limitu. Limita, kdy se ‚x‘ blíží k 1 pro přirozený logaritmus, nám dá 0. A tady přirozený logaritmus z 1 je 0, plus (1 minus 1) děleno 1, což je zase 0. Jmenovatel je 0 plus 0. Máme opět 0 děleno 0. Použijeme ještě jednou l'Hospitalovo pravidlo. Derivace čitatele děleno derivací jmenovatele. Limita bude rovna ‚x‘ blížící se k 1 z derivace čitatele, což je 1 děleno x, že? Derivace přirozeného logaritmu x je 1 děleno x, děleno derivací jmenovatele. To je rovno čemu? Derivace přirozeného logaritmu x je 1 děleno x, plus derivace x minus 1 děleno x. Můžeme si to představit jako 1 děleno x krát x minus 1. Derivace prvního členu krát druhý plus derivace druhého členu krát první člen. Derivace prvního členu, x na −1 je −x na −2, krát druhý člen, krát x minus 1 plus derivace druhého členu, to je 1 krát první, 1 děleno x. Celý výraz bude roven… Na počítači mi právě vyskočilo vyskakovací okno, omlouvám se za ten zvuk, pokud byl slyšet. Kde jsem to byl? Upravujeme toto, děláme l'Hospitalovo pravidlo. To bude rovno… Pokud ‚x‘ jde k 1, pak čitatel je 1 děleno 1, což je 1. Určitě nedostaneme další nedefinovaný výraz, nebo alespoň ne 0 děleno 0. Jmenovatel, pokud x jde k 1, bude 1 děleno 1, což je 1, plus −1 na −2. nebo-li 1 na −2 je 1. To celé násobíme 1 minus 1, což je 0, takže celý člen nám vypadne. Plus další 1 děleno 1. Takže plus 1 a celý člen bude roven 1 lomeno 2. A máme to. Použitím l'Hospitalova pravidla a menšími úpravami jsme vypočítali něco, co ze začátku nevypadalo jako 0 děleno 0. Výraz jsme upravili a dostali jsme 0 lomeno 0, dvakrát jsme zderivovali čitatele a jmenovatele a vypočítali zadanou limitu.