Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (3/13) · 7:07

Úvod do aritmetických posloupností Z několika konkrétních příkladů si odvodíme, co jsou to aritmetické posloupnosti a jaké vzorečky je dobré znát pro práci s nimi.

V tomto videu bych vás chtěl seznámit s běžnou třídou posloupností. A těmi jsou aritmetické posloupnosti. Obvykle je velmi jednoduché si jich všimnout. Jsou to posloupnosti, kde každý člen je o pevně určené číslo větší než člen předchozí. Mým cílem tady je zjistit, které z těchto posloupností jsou aritmetické posloupnosti. A potom, abychom si procvičili některé zápisy posloupností, je chci vyjádřit jednak explicitním vzorcem pro člen, který hledáme, s indexem, na který se díváme, jednak rekurentním zadáním. Takže zaprvé, vzhledem k tomu, že v aritmetické posloupnosti je každý člen o pevně dané číslo větší než ten předchozí, které z těchto posloupností jsou aritmetické? Takže se podívejme na tu první hned tady nahoře. Abychom se z -5 dostali na -3, musíme přidat 2. Potom, abychom se z -3 dostali na -1, musíme přidat 2. Pak, abychom z -1 dostali na 1, musíme přidat 2. Takže toto je zcela zřejmě aritmetická posloupnost. Pokaždé přidáváme stejné množství. A je tu několik způsobů, jak můžeme vyjádřit posloupnost. Můžeme říci, že to je ,a' s indexem ,n'. A nemusíte pokaždé používat ,k'. Tentokrát jako index použiji ,n'. Pro ,n' od jedné do nekonečna s… A můžeme to vyjádřit dvěma způsoby. Můžeme to vyjádřit explicitně, nebo to můžeme vyjádřit rekurzivně. Takže kdybychom to chtěli vyjádřit explicitně, mohli bychom napsat ,a' s indexem ,n' se rovná čemukoliv, co je první člen. V tomto případě, naším prvním členem je -5. Je to rovno -5 plus… (n minus 1)krát tam přidáme 2. Takže pro získání druhého členu přičteme 2 jednou. Pro získání třetího členu přičteme 2 dvakrát. Pro získání čtvrtého členu jsme k prvnímu členu přičetli 2 třikrát. Takže budeme přičítat 2. Budeme přičítat +2 o jedno méně krát než kolik je index, který vidíme, tedy (n minus 1)krát. Takže toto je explicitní vyjádření této aritmetické posloupnosti. Kdybych to chtěl zapsat rekurzivně, mohl bych napsat ,a' s indexem ,1' se rovná -5. A potom každý následující člen, od ,a' s indexem 2 a výše… Takže bych mohl napsat, že ,a' s indexem ,n' se rovná ,a' s indexem ,(n minus 1)' plus 3. Každý člen se rovná hodnotě předchozího členu plus 2. Takže toto je pro ,n' větší nebo rovno 2. Takže každý z těchto způsobů vyjádření je naprosto legitimní pro zápis aritmetické posloupnosti, jakou tady máme. Můžeme to vyjádřit explicitně, nebo rekurzivně. A teď se podívejme na tuto posloupnost. Je tato posloupnost aritmetická? Takže, vycházíme z čísla 100. Přičteme 7. Ke 107 pro získání 114 přičteme 7. Ke 114 pro získání 121 přičteme 7. Takže toto opravdu je aritmetická posloupnost. Takže jen aby to bylo jasné: tady máme jednu a tady máme další. A můžeme napsat, že toto je posloupnost ,a' s indexem ,n', kde ,n' jde od jedné do nekonečna… A pokud to chceme vyjádřit explicitně, můžeme říci, že ,a' s indexem ,n' se rovná 100, kde k tomu pokaždé přidáme 7. A každý člen potom… Pro získání druhého členu přidáme 7 jednou. Pro získání třetího členu přidáme 7 dvakrát. Takže pro získání n-tého členu budeme 7 muset přidat (n minus 1)krát. Takže toto je explicitní vyjádření této posloupnosti, ale můžeme ji také vyjádřit rekurzivně. Můžeme také říci… Takže jen aby to bylo jasné: tohle je jedno vyjádření, kde to píšeme takto, nebo můžeme napsat ,a' s indexem ,n', pro ,n' jdoucí od 1 do nekonečna. A v každém případě bych to tady měl dopsat. A pokud to chci vyjádřit rekurzivně, můžu napsat ,a' s indexem ,1' se rovná 100. A pak, pro všechno větší než 1, pro každý index větší než 1, ,a' s indexem ,n' se rovná předchozímu členu plus 7. A tak je to hotové. Toto je jiný způsob vyjádření. Takže obecně, pokud byste chtěli obecným způsobem poznat nebo vyjádřit aritmetickou posloupnost, můžete říci, že aritmetická posloupnost bude zapsaná ve tvaru ,a' s indexem ,n', pokud mluvíme o nekonečné posloupnosti, pro ,n' od jedné do nekonečna. Pokud to chcete vyjádřit explicitně, můžete napsat, že ,a' s indexem ,n' se rovná nějaké konstantě, která se v podstatě rovná prvnímu členu. Bude to nějaká konstanta plus nějaké číslo, o které zvyšujete, nebo samozřejmě můžete i snižovat, může to být záporné číslo, vynásobené (n minus 1)krát. Takže toto je jeden způsob, jak vyjádřit aritmetickou posloupnost. V tomto případě, ,d' se rovnalo 2. A v tomto případě se ,d' rovná 7. To je číslo, o které pokaždé zvyšujete. A v tomto případě, ,k' je -5, a v tomto případě je ,k' rovno 100. A ten jiný způsob, pokud byste obecně chtěli zapsat aritmetickou posloupnost rekurzivně, můžete říci ,a' s indexem ,1' se rovná ,k', a pak ,a' s indexem ,n' se rovná ,a' s indexem ,(n minus 1)'. Daný člen se rovná předchozí člen plus ,d', pro ,n' větší nebo rovno 2. Takže, znovu, toto je explicitní vyjádření. A toto je rekurzivní vyjádření. A tady to jen dopíšeme. A nyní, moje poslední otázka je: Je tahle posloupnost aritmetická posloupnost? Pojďme to zjistit. Začínáme s číslem 1. Pak přičteme 2. Pak přičteme 3. Takže to nám ihned prozrazuje, že tato posloupnost není aritmetická. A teď přičítáme 4. Pokaždé přičítáme jiné číslo. Takže, ze všeho nejdříve, toto není aritmetické. To není aritmetická posloupnost. Ale jak bychom ji mohli vyjádřit, když už se snažíme vyjadřovat naše posloupnosti? Takže kdybychom to chtěli vyjádřit… Řekněme, že bychom to chtěli vyjádřit rekurzivně. Mohli bychom říci, že toto se rovná ,a' s indexem ,n', kde ,n' jde od 1 do nekonečna, a doplnit, řekněme s naším prvním členem, ,a' s indexem ,1' se rovná 1. A potom pro ,n' větší nebo rovno 2 se ,a' s indexem ,n' bude rovnat čemu? Takže ,a' s indexem ,2' je předchozí člen plus 2. ,a' s indexem ,3' je předchozí člen plus 3. ,a' s indexem ,4' je předchozí člen plus 4. Takže to bude předchozí člen plus hodnota indexu… …plus cokoli, co je indexem. Takže toto vypadá povědomě, ale všimněte si, že tady měníme hodnotu, kterou přidáváme, na základě indexu. K předchozímu členu přičítáme hodnotu indexu. Takže toto je pro ,n' větší nebo rovno 2. V aritmetické posloupnosti tedy přičítáme stále tu samou hodnotu bez ohledu na to, jakou hodnotu má náš index. Tady ale přičítáme přímo samotný index. Takže toto není aritmetická posloupnost, přesto to však je zajímavá posloupnost.
video