Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (5/13) · 6:17

Převádění mezi různými způsoby zápisu posloupnosti V těchto dvou příkladech máme posloupnost zadanou výčtem svých členů a naším úkolem je nalézt rekurentní zadání.

Máme tady tuto tabulku, ve které pro každé zadané 'n'… Když n je 1, f pro n je 12, když n je 2, f pro n je 5 a když n je 3, f pro n je −2, když n je 4, f pro n je −9. Můžeme to brát tak, že tato funkce f definuje posloupnost, kde první člen je 12. Druhý člen posloupnosti je 5. Třetí člen této posloupnosti je −2. Čtvrtý člen této posloupnosti je −9. A tak to jde dál a dál. A můžete si všimnout, že je to aritmetická posloupnost. Začínáme s 12 a další člen… Co jsme udělali? Odečetli jsme 7. Teď půjdeme z druhého členu na třetí… Co uděláme? Odečteme 7. Každý člen je o 7 menší, než ten předchozí. Když jsme si tohle ujasnili, podívejme se, jestli dokážeme definovat funkci 'n'. Jestli ji umíme explicitně definovat. Zkusíme zapsat definici funkce. Chci přijít na to, čemu se rovná funkce f pro n. Chci, abyste přišli na to, jak to má být, abyste při dosazení 'n' zde, dostali správnou hodnotu f pro 'n'. Tak se na to podívejme. Bude to… Můžeme uvažovat, že začínáme na… První člen bude 12. Ale potom budeme odečítat 7. A od čeho budeme odčítat 7? Kolikrát budeme odečítat 7? Pro první člen odečteme 7 nulakrát. A tak dostaneme zase 12. Pro druhý člen odečteme 7 jednou. Pro třetí člen odečteme 7 dvakrát. Jednou, dvakrát. Pro čtvrtý člen odečteme 7 třikrát. Takže to vypadá, že pro jakýkoli člen odečteme 7 'n minus 1' krát. U jakéhokoli členu odečteme 7 (pořadí toho členu minus 1) krát. Takže n minus 1 krát. A podívejme se, jestli to opravdu platí. Takže f pro 1 bude 12 minus 7 krát 1 minus 1, což je 0. Takže to bude 12. F pro 2 bude 12 minus 7 krát 2 minus 1. Takže to bude 12 minus 7 krát 1. Odečteme 7 pouze jednou, což přesně sedí. Začali jsme na 12, odečetli jsme jednou 7. F pro 3, můžete pokračovat s ověřováním. 12 minus… Měli bychom odečíst 7 dvakrát. A vidíme, že 3 minus 1, je 2. Takže odečteme 7 dvakrát. To vypadá správně. Napsali jsme explicitní definici funkce. Definovali jsme 'f' pro tuto posloupnost. Udělejme další příklad. V tomto případě máme nějaké definice funkcí už zadány. Máme tady posloupnost, je zapsaná tady v tabulce. První člen je −100. Další člen je −50, další člen je 0, další člen je 50. A je zřejmé, že tohle je také aritmetická posloupnost. Začínáme na −100 a potom přičítáme 50. A pak přičteme 50 a pak zase přičteme 50. Každý člen je o 50 větší, než ten předchozí. Zastavte si video a zamyslete se nad tím, která z následujících definic funkce f je správná. A může to být více, než jedna. Tak se na to podívejme. Tato definice tady. Můžeme říct, že začneme na −100 A přičteme 50 'n minus 1' krát. Dává to smysl? Pro první člen, pokud začneme na −100, nepřičítáme vůbec nic. Přičítáme 50 nulakrát. To sedí, Protože 1 minus 1 je 0. Pro n rovno 1 to sedí. A co n rovno 2. Začneme na −100, přičteme jednou 50. Tohle má být 1. 2 minus 1, ano, je to 1. Přičítáme 50. Pro jakékoli číslo, pro jakékoli 'n', přičteme 50 o 1 méně krát, než je to číslo. Takže tady přičteme 50 dvakrát. Když 'n' je 4, přičteme 50 třikrát. A tady to taky sedí. Když je n rovno 4, přičteme 50 4 minus 1 krát, třikrát. −100 plus 50 krát 3. Přičítáme 50 třikrát, přičítáme jednou, dvakrát, třikrát. To vychází 50. Tato definice bude správná. Podívejme se na druhou definici. −150 plus 50n. To je jeden způsob, jak vyjádřit… Když se n rovná 1, bude to minus… Nakreslím raději tabulku. Takže máme 'n' a máme funkci 'f' pro 'n'. Tabulka je pro tento výraz. Pokud n je 1, bude to −150 plus 50. Cože je −100, ano, to sedí. Když n je 2, dostaneme −150 plus 50 krát 2, což bude… To je 100 a tady je −150, takže to bude -50. Když n je 3, a tady to platí, samozřejmě. Když n je 3, máme −150 plus 50 krát 3, což se rovná 0. To taky platí. Tato definice je platná. A můžete říct: No ale tyhle vzorce jsou odlišné. My je ale můžeme upravit, abychom viděli, že jsou vlastně stejné. Když vezmete ten první, −100 plus, roznásobíme tuhle 50. Plus 50n, plus 50n, minus 50. −100 minus 50, to je −150. A potom máme plus 50n. Takže tyto dva jsou matematicky totožné definice pro naši funkci. A co tenhle? −100 plus 50n. Je tato definice správná? Když n je 1, bude to −100 plus 50, což je −50. Tady to nesedí. Tady potřebujeme −100. Tento vzorec není správný.
video