Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (7/13) · 10:45

Úvod do geometrické posloupnosti Nejprve si vysvětlíme základní myšlenku geometrické posloupnosti a poté ji aplikujeme na příkladu s Annou, která skočí bungee jumping.

V tomto videu vám chci představit myšlenku geometrické posloupnosti. Mám mnoho pokročilejších videí na toto téma, ale je dobré začít od pochopení toho, co znamená, když někdo řekne geometrická posloupnost. Dobrý výchozí bod je - Co je to posloupnost? Posloupnost je, představte si postup několika čísel. Například, a tohle není geometrická posloupnost, kdybych vzal 1, 2, 3, 4, 5. To je posloupnost čísel. Není to geometrická posloupnost, ale je to posloupnost. Geometrická posloupnost je zvláštní případ, zvláštní posloupnost čísel, kde je každé následující číslo daným násobkem předchozího čísla. Vysvětlím vám, co říkám. Řekněme, že první číslo bude 2 a pak jej vynásobím 3. Vynásobil jsem jej 3, dostanu 6. Pak vynásobím 6 krát 3, dostanu 18. Pak vynásobím 18 krát 3, dostanu 54. A takto bych pokračoval. Pokračoval bych v násobení 3. Začal jsem, pokud bychom to chtěli nějak zapsat, toto je můj první člen. Nazvěme to 'a1' v mé posloupnosti. Pokaždé to násobím společným číslem, které je nazýváno 'kvocient geometrické posloupnosti'. V tomto případě je 'a1' rovno 2 a kvocient je roven 3. Kdyby vám někdo řekl: „Máte geometrickou posloupnost. 'a1' je rovno 90 a kvocient je minus (1 lomeno 3).“ To znamená, že první člen posloupnosti je 90. Druhý člen je minus (1 lomeno 3) krát 90. Což je kolik? To je -30, že? (1 lomeno 3) krát 90 je 30, pak uděláte zápor. Pak další číslo bude třetina tohoto. Tedy minus třetina tohoto. (1 lomeno 3) krát 30 je 10. Minusy se vykrátí, dostanete +10. Další číslo bude 10 krát -(1 lomeno 3), tedy minus 10 lomeno 3. Pak další číslo bude minus (10 lomeno 3) krát minus (1 lomeno 3), takže to bude (10 lomeno 9). A takto byste mohli pokračovat s touto posloupností. O tomto tedy lidé mluví, když mají na mysli geometrickou posloupnost. Chtěl bych to tu trochu odlišit. Tohle mě vždy zmátlo, protože tato označení se používájí velmi často ve stejném kontextu. Tohle jsou posloupnosti. Jsou to nějaké postupy čísel. 2, pak 6, pak 18… 90, pak -30, pak 10, pak -10 lomeno 3, pak… omlouvám se, tohle je 10 lomeno 9, že? -1 lomeno 3 krát -10 lomeno 3, minusy se vykrátí. Dobře, 10 lomeno 9. Nechceme tu udělat chybu. Tohle jsou posloupnosti. Můžete ale narazit i na slovo 'řady'. Dokonce i na 'geometrické řady'. Řady, tak jak se nejčastěji to slovo používá, znamenají součet posloupnosti. Například tohle je geometrická posloupnost. Geometrická řada by byla 90 plus (-30) plus 10 plus (-10 lomeno 3) plus (10 lomeno 9). Obecně se na to můžeme dívat tak, že řada je součet posloupnosti. Jen jsem to chtěl vyjasnit, protože to mě vždy mátlo, když jsem poprvé slyšel o těchto věcech. Každopádně, vraťme se k zápisu geometrické posloupnosti, a vlastně udělejme slovní úlohu, kde se s tím vypořádáme. Bylo nám řečeno, že Anne jde skákat na laně z mostu nad vodou. Na počátečním skoku se lano natáhlo o 120 stop. Ve skoku 'a1', počátečním skoku, lano se natáhlo o 120 stop. Můžeme to napsat takto. Můžeme zapisovat skoky a jak moc se lano natáhlo. V prvotním skoku, ve skoku 1, se lano natáhlo o 120 stop. Pak nám bylo řečeno, že na dalším odrazu je natáhnutí 60 % z původního skoku, a na každém dalším odrazu se lano natáhne z 60 % předchozího natažení. Tady, náš kvocient, každý následující člen posloupnosti bude 60 % předchozího. Tedy 0,6 krát předchozí člen. Ve druhém skoku se natáhne jen do 60 % tohoto. Tedy 0,6 krát 120. Což je rovno čemu? To je rovno 72. Ve třetím skoku se natáhne do 60 % ze 72, tedy 0,6 krát toto. Bude to 0,6 krát 0,6 krát 120. Pak ve čtvrtém skoku… Všimněte si, zde ve čtvrtém skoku budeme mít 0,6 krát 0,6 krát 0,6 krát 120. 60 % tohoto skoku. Pokaždé jsme v 60 % předchozího skoku. Pokud bychom chtěli obecný vzorec, na základě toho, jak jsme to zde definovali. Jaké bude natažení v n-tém skoku? Podívejme, začali jsme ve 120… 120 krát 0,6 na jakou mocninu? Na mocninu (n minus 1). Jak jsem to získal? Napíšu to trochu lépe. Tohle je 0,6… Vlastně napíšu nejdříve 120. To je rovno 120 krát (0,6) na (n minus 1). Jak jsem to získal? Definovali jsme první skok jako natažení o 120 stop. Když dáte 'n' rovno 1 zde, dostanete 1 minus 1, tedy 0. Takže máte 0,6 na nultou, tedy zde dostanete 1. A to je to, co se stalo při prvním skoku. Ve druhém skoku, napíšete 2 minus 1, všimněte si, 2 minus 1 je na 'prvou', a máme zde přesně jednou 0,6. Přišel jsem na (n minus 1), protože když je n rovno 2, máme jednou 0,6. Když je n rovno 3, máme dvě 0,6 násobené mezi sebou. Když je n rovno 4, máme (0,6) na třetí. Ať je tedy 'n' jakékoli, bereme 0,6 na (n minus 1), a to samozřejme násobíme 120. Je nám položena otázka. Jak moc se lano prodlouží na 12. odrazu? A tady použiji kalkulačku. Vlastně to trochu poupravím. Není to špatně, ale oni se ptají na odraz. Mohli bychom skok nazvat nultým odrazem. Změním to tedy. Není to špatně, ale myslím si, že tady je jádro úlohy. Mohli bychom brát počáteční skok jako nultý odraz. Místo toho, abych to nazval skokem, nazvu to odrazem. Prvotní natažení je nultý odraz, pak tohle bude první odraz, druhý odraz, třetí odraz. Náš vzorec bude jednodušší. Pokud se ptají na n-tý odraz, pak bude vzorec 0,6 na n-tou krát 120, že? Nultý odraz, to je prvotní natažení, máte 0,6 na nultou, to je 1 krát 120. Na prvním odrazu, 0,6 na prvou. 0,6 krát předchozí natažení, předchozí odraz. Tento vzorec je vzhledem k odrazům, což si myslím je to, co po nás chtěli. Co tedy 12. odraz? Pomocí tohoto zápisu zde. Když budeme počítat 12. odraz, použijme na to kalkulačku. Budeme mít 120 krát 0,6 na 12. Snad budeme mít správně pořadí operací, mocnina má přednost před násobením. Snad to umocní jen 0,6. To je rovno 0,26 stop. Po 12. odrazu se bude sotva hýbat. Bude se houpat přibližně o 3 palce během 12. odrazu. Snad vám to přišlo užitečné. Omlouvám se za tu drobnou odchylku zde, ale myslím, že to bylo trochu poučné. Musíte se vždy ujistit, že máte správné 'n' vzhledem k výsledkům. Když jsem mluvil o první skoku, řekl jsem si, že to bude 1. A pak jsem měl 0,6 na nultou, takže jsem měl (n minus 1). Ale když jsem to přeznačil, abych to měl v odrazech, tohle byl nultý odraz. To dává smysl, že tohle je 0,6 na nultou. Tohle je první odraz, takže tohle je 0,6 na prvou. Druhý odraz, 0,6 na druhou. Udělalo to naši rovnici trochu jednodušší. Snad vám to přišlo zajímavé.
video