Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (10/13) · 3:46

Hledání členu rekurentně zadané geometrické posloupnosti Další příklad na geometrickou posloupnost. Tentokrát jí máme zadanou rekurentně a, stejně jako minule, naším úkolem je dopočítat několik prvních členů.

Geometrická posloupnost 'a' dolní index 'i' je zadána vzorečkem, kde první člen, 'a' s indexem 'i', je roven minus (1 lomeno 8), a každý další člen je definován tak, že 'a' dolní index 'i' je roven 2 krát předchozí člen. 'a' dolní index 'i' je roven 2 krát 'a' dolní index 'i minus 1'. Kolik je 'a' dolní index '4', čtvrtý člen posloupnosti? Pozastavte video a zkuste, zda to dokážete vyřešit sami. Je tu několik způsobů, kterými to můžete vyřešit. Jeden je přímo použít tyto vzorečky. Můžeme říct, že 'a4'… …to bude tento případ zde… 'a4' bude rovno 2 krát 'a3'. 'a3', pokud použijeme tento vzorec, bude rovno 2 krát 'a2'. Každý člen je 2 krát předchozí člen. Pak se vrátíme znovu k tomuto, řekneme, že 'a2' je 2 krát 'a1'. Dva krát 'a1'. Naštěstí pro nás, my víme, že 'a1' je minus (1 lomeno 8). Bude to 2 krát minus (1 lomeno 8), což je rovno minus (1 lomeno 4). Minus (1 lomeno 4). Tohle je tedy minus (1 lomeno 4). 2 krát minus (1 lomeno 4) je rovno minus (2 lomeno 4), tedy minus (1 lomeno 2). 'a4' je 2 krát 'a3'. 'a3' je minus (1 lomeno 2). Tohle tedy bude 2 krát minus (1 lomeno 2), což bude rovno -1. Tohle je jeden způsob řešení. Další způsob je, že známe první člen. Také známe 'kvocient'. Víme, že každý následující člen je 2 krát předchozí člen. Mohli bychom explicitně… Tohle je rekursivní definice geometrické posloupnosti. Mohli bychom to přímo napsat, že 'a1' je rovno našemu původnímu členu, minus (1 lomeno 8). Pak to vynásobíme 2. Vynásobíme to 2 (i minus 1)krát. Mohli bychom říct, krát 2 na (i minus 1) mocninu. Ujistěme se, že to dává smysl. 'a1', na základě tohoto vzorečku, 'a1' je minus (1 lomeno 8) krát 2 na (1 minus 1). 2 na nultou. To dává smysl. To by bylo minus (1 lomeno 8). Na základě tohoto vzorečku, 'a2' by bylo minus (1 lomeno 8), krát 2 na (2 minus 1). Takže 2 na prvou. Vezmeme původní člen a vynásobíme jej 2 krát. Což je pravda. 'a2' je minus (1 lomeno 4). Chceme-li najít čtvrtý člen posloupnosti, můžeme říct, že pomocí tohoto explicitního vzorečku, mohli bychom říct, že 'a4' je rovno minus (1 lomeno 8), krát 2 na (4 minus 1). 2 na (4 minus 1) mocninu. Je to tedy rovno minus (1 lomeno 8) krát 2 na třetí. To je minus (1 lomeno 8) krát 8. Minus (1 lomeno 8) krát 8, to je rovno -1. Můžete být trochu nerozhodní ohledně toho, kterou metodu chcete použít, ale můžete si být jisti, že tato druhá metoda, kde najdeme explicitní vzorec a známe první člen a 'kvocient', je mnohem snazší, chceme-li najít například 40. člen. Protože dělat 40. člen takto by zabralo mnoho času a také mnoho papíru.
video