Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (11/13) · 5:38

Převod mezi různými způsoby zadání geometrické posloupnosti Složitější příklad, ve kterém je geometrická posloupnost zadána výčtem členů a my máme najít jednak vzorec pro n-tý člen, ale také rekurentní zadání.

V této tabulce zde nám dávají nějaké 'n', 'n' je rovno 1, 2, 3, 4, dostáváme odpovídající 'g' jako funkci 'n'. Tato funkce 'g' definuje posloupnost, kde 'n' je člen posloupnosti. Například můžeme říct, že tohle je to samé jako posloupnost, kde první člen je 168, druhý je 84, třetí člen je 42 a čtvrtý člen je 21, a takto bychom pokračovali dál a dál. Jakým typem je tato posloupnost? Když začínáme v 168, jak se od 168 dostaneme k 84? Mohli bychom říct, že odečteme 84, ale také bychom to mohli násobit (1 lomeno 2). Tedy krát jedna polovina. A pak, od 84 k 42, znovu to násobíme polovinou. Krát jedna polovina. Z 42 k 21, násobíme znovu jednou polovinou. Tohle je tedy geometrická posloupnost. Začneme v nějakém členu a každý následující člen je předchozí člen vynásobený, někdy tomu říkají 'kvocient', vynásobený jednou polovinou. Jak můžeme zapsat 'g' jako funkci 'n'? Jak ji můžeme explicitně definovat ve vztahu k 'n'? Vyzývám vás k pozastavení videa a rozmyslete si to sami. Sestrojit… Řeknu-li, že g(n) je rovno… Představte si funkci, která popisuje, co jsme tu viděli, začali jsme v 168 a pak násobili polovinou pokaždé, kdy jsme přidali další člen. Jeden ze způsobů je, že začneme v 168 a pak budeme několikrát násobit polovinou. Za exponent můžeme brát počet, kolikrát násobíme polovinou. Kolikrát budeme násobit polovinou? U prvního členu budeme násobit polovinou nulakrát. U druhého členu budeme násobit polovinou jednou. U třetího členu budeme násobit polovinou dvakrát. U čtvrtého členu budeme násobit polovinou třikrát. Zdá se, že když jsme na kterémkoli členu, násobíme polovinou tím pořadím členu minus 1. Můžete vidět, že to tak funguje. Je-li 'n' rovno 1, budete mít 1 minus 1, což je 0. Polovina na nultou je jedna. Takže budete mít 168. Je-li 'n' rovno 2, pak 2 minus 1, budete násobit polovinou jedinkrát. To vidíte tady. 'n' je rovno 3, budete násobit polovinou dvakrát. 3 minus 1 je 2. Budete násobit polovinou dvakrát a to vidíte tady. To vypadá jako pěkné explicitní vyjádření geometrické posloupnosti. Můžete nad tím přemýšlet i jinak, můžete napsat, že g(n) je rovno… Jiný způsob jak to zapsat. Můžete to napsat jako 168, jen to algebraicky upravuji, lomeno 2 na (n minus 1). Jiný způsob, jak na to… Využijme trochu vlastností mocnin. Můžeme říct, že g(n) je rovno… Jedna polovina na (n minus 1), to je stejné jako polovina… Je to rovno 168… Udělám to jinou barvou. Tato část zde je to samé jako polovina na 'n'. Tedy krát polovina na 'n', krát polovina na -1. Polovina na -1. Polovina na -1 je 2. Takže tohle je krát 2. Takže to celé můžeme přepsat jako… 168 krát 2 je kolik? 336? 336, udělal jsem to správně? 160 krát 2 bude 320, plus 16, dvakrát 8, ano, 336. A pak krát polovina na 'n'. Krát polovina na 'n'. Tohle jsou ekvivalentní tvrzení. Tohle dává větší smysl intuitivně, okamžitě to vidíte, začínáte na 168 a pak to několikrát násobíte polovinou. Tohle je k tomuto algebraicky ekvivalentní. K originálu. Dokážeme však definovat g(n) rekursivně? Pozastavte video a zkuste to. V mnoha případech je rekursivní zadání přímočařejší, pusťme se do tedy do toho. Udělám rekursivní funkci jinak… Vlastně zůstanu u g(n), když je to tak v tabulce. g(n) je rovno… Podívejme, když je 'n' rovno 1, začínáme na 168. A je-li 'n' větší než 1 a celé číslo… Tohle tedy bude definováno pro přirozená čísla. …a celé číslo, co budeme dělat? Vezmeme polovinu a vynásobíme ji předchozím členem. Bude to tedy polovina krát g(n minus 1). Lze si ověřit, že to funguje. Je-li 'n' rovno 1, půjdeme rovnou sem, bude to 168. g(2) bude rovno polovina krát g(1), což je, samozřejmě, 168. Tedy, 168 krát polovina je 84. g(3) bude polovina krát g(2), což je pravda. g(3) je polovinou g(2). Takto bychom tedy definovali… Tohle je explicitní vyjádření posloupnosti. Tohle je rekursivní funkce pro vyjádření posloupnosti.
video