Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (12/13) · 6:30

Převod mezi různými způsoby zadání geometrické posloupnosti 2 Další příklad na geometrickou posloupnost, ve kterém máme za úkol převést posloupnost zadanou pomocí vzorce pro n-tý člen na rekurentně zadanou.

Mám funkci g(x) je rovno 9 krát 8 na (x minus 1). A je definována pro 'x' kladná… …je-li 'x' přirozené číslo. Je-li 'x' přirozené číslo. Tedy, že definičním oborem této funkce, neboli, že všemi platnými vstupy zde jsou přirozená čísla. Tedy 1, 2, 3, 4, 5 a tak dále. Tohle je explicitně zadaná funkce. Teď bych rád napsal tu samou funkci rekursivně. Pro dané 'x' dají tu samou hodnotu. Pojďme nejprve porozumět vstupům a výstupům. Udělejme si malou tabulku. Udělejme tabulku zde. A zamysleme se nad tím, co se stane, zadáme-li do této funkce různá 'x'. Definičním oborem jsou přirozená čísla. Zkusme jich tedy pár. 1, 2, 3, 4. Uvidíme, jaké jsou odpovídající hodnoty g(x). 'g' od 'x'. Je-li 'x' rovno 1, g(x) je 9 krát 8 na (1 minus 1), 9 krát 8 na nultou, tedy 9 krát 1. g(x) bude tedy 9. Je-li 'x' rovno 2, co se stane pak? Bude to 9 krát 8 na (2 minus 1). To je to samé jako 9 krát 8 na prvou. To je 9 krát 8. Takže 72. Vlastně to zapíšu takto. Napíšu to jako 9 krát 8. 9 krát 8. Pak, je-li 'x' rovno 3, co se tu bude dít? Tohle bude (3 minus 1), což je 2. Tohle bude 8 na druhou. Tohle tedy bude 9 krát 8 na druhou. Můžeme to napsat jako 9 krát 8 krát 8. Myslím, že tu už vidíte nějaké schéma. Je-li 'x' rovno 4, bude to 8 na (4 minus 1), tedy 8 na třetí. Toto bude tedy 9 krát 8 krát 8 krát 8. Tohle nám dává nápovědu o tom, jak se to dá definovat rekursivně. Všimněte si, je-li první člen, když 'x' je 1, roven 9, každý následující člen je 8 krát předchozí člen. 8 krát předchozí člen. 8 krát předchozí člen. 8 krát předchozí člen. Definujme to tedy rekursivně. Nejdříve si zadefinujme první člen. Můžeme psát g(x)… Udělám to novou barvou, nadbytečně používám červenou. Mám rád modrou. g(x). Definujme první člen. Bude to rovno 9, pokud je 'x' rovno 1. g(x) je rovno 9, je-li 'x' rovno 1. Tím jsme se postarali o tohle. A pak, je-li 'x' cokoliv jiného, rovná se to předchozímu g(x)… Díváme-li se na… Podívejme se až úplně dolů na 'x minus 1' a pak na 'x'. Pokud tento vstup zde je g(x minus 1)… Ať už jsme násobili libovolným počtem 8 a máme 9 vpředu, tohle je g(x minus 1). Víme, že g(x)… Víme, že tohle bude předchozí, g(x minus 1), předchozí člen krát 8. Můžeme to napsat sem. Krát 8. Pro každé 'x' různé od 1, g(x) je rovno předchozímu členu, tedy 'g' od… Udělám to modrou. …g(x minus 1) krát 8. Je-li 'x' větší než 1, přirozené číslo větší než 1. Ověřme si, zda to skutečně platí. Vytvořme si další tabulku. Znovu tu budeme mít 'x' a budeme mít g(x). Ale tentokrát použijeme pro g(x) toto rekursivní vyjádření. Proč je rekursivní? Protože odkazuje sama na sebe. Ve své definici říká, že g(x), není-li 'x' rovno 1, bude to g(x minus 1). Používá tu samotnou funkci. Ale uvidíme, že to opravdu funguje. Podívejme. Je-li 'x' rovno 1, g(1) je rovno 9. Je to rovno 9. To je přímočaré. Co se stane, je-li 'x' rovno 2? Když je 'x' rovno 2, tento případ už neplatí. Jdeme dolů k tomuto případu. Je-li 'x' rovno 2, bude to rovno g(2 minus 1)… Zapíšu to. Bude to rovno g(2 minus 1) krát 8, což je stejné jako g(1) krát 8. A kolik je g(1)? No, g(1) máme zde. g(1) je 9. Tohle bude rovno 9 krát 8. Přesně to stejné, co máme zde. A to je samozřejmě rovno g(2). Napíšu to. Tohle je g(2). Trochu se posunu, ať se tu nemusím mačkat. Přejděme teď k 3. Přejděme k 3. Teď napíšu nejdříve g(3). g(3) je rovno, jsme u tohoto případu, je to rovno g(3 minus 1) krát 8. To je rovno g(2) krát 8. Kolik je g(2)? g(2) jsme zjistili, že je 9 krát 8. Je to rovno 9 krát 8, to je g(2), znovu krát 8. A vidíte, že máme přesně ty stejné výsledky. Tohle je tedy rekursivní vyjádření této funkce.
video