Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (1/13) · 8:18

Zápis posloupnosti Co je to posloupnost a jak jí můžeme zapsat? Zde si ukážeme dva různé způsoby, prosté vypisování prvků a rekurentní zadání.

V tomto videu bych vás chtěl seznámit s různými zápisy posloupnosti. Posloupnost je vlastně jen uspořádaný seznam čísel. Například mohu mít konečnou posloupnost, což znamená, že posloupnost nemá nekonečně mnoho čísel. Řekněme, že začnu od 1 a budu přičítat 3, tak 1 plus 3 je 4, 4 plus 3 je 7, 7 plus 3 je 10. Dejme tomu, že máme jen tyto čtyři členy. Tuto tedy nazveme konečnou posloupností. Mohu mít i nekonečnou posloupnost. Příklad nekonečné posloupnosti… Řekněme, že začneme od 3 a stále přidáváme 4. Dostáváme tak 3, 7, 11, 15. Nemusíme vždy přidávat stejné číslo, objevíme i zvláštní posloupnosti. Posloupnosti, ve kterých přičítáme stále stejné číslo, nazýváme aritmetické, které budeme také důkladněji zkoumat. Aby bylo vidět, že je nekonečná, že pokračuje dál a dál, napíšu sem tři tečky. To znamená jen to, že pokračuje dál a dál, proto jí říkáme nekonečná posloupnost. Existuje mnoho různých druhů zápisu, které se zdají být zbytečně složité, ale označují jen podobné množiny. Chtěl bych, abyste se seznámili s tím, jak zapisovat a definovat posloupnosti. Můžeme říct, že tohle je posloupnost členů 'a' s dolním indexem 'k', kde 'k' nabývá hodnot od 1 do 4, a je rovna tomuto zde. Díváme-li se na to takto, můžeme všechny tyto brát jako členy posloupnosti. Tady je první člen posloupnosti, nazveme jej 'a' s indexem 1, tohle bude člen s indexem 2, myslím, že už vidíte, jak to funguje. Tady je 'a' s indexem 3 a tohle je 'a' s indexem 4. Toto říká, že všechny 'a' s indexem 'k' nabývají těchto hodnot, pro 'k' od 1 do 4. Mohl bych posloupnost definovat také tak, že bych ji nevypsal takto explicitně, ale posloupnost bych definoval nějakým funkčním předpisem, nebo něčím, co by se tomu podobalo. Úplně stejnou posloupnost, bych mohl definovat jako 'a' s indexem 'k', kde 'k' jde od 1 do 4 místo toho, abych sem psal čísla explicitně, mohl bych psát, že 'a' s indexem 'k' je rovno nějaké funkci od 'k'. Podívejme, co se stane. Je-li 'k' rovno 1, dostáváme 1, je-li 'k' rovno 2, dostáváme 4, je-li rovno 3 dostáváme 7, Když 'k' je rovno 3, 3 jsme přidali dvakrát, Ujasníme si to. Tady to bylo plus 3, tady plus 3, tady také plus 3. Pro jakékoli 'k' jsme začali od 1 a přidali (k minus 1) krát 3. Můžeme tedy říci, že to bude 1 plus (k minus 1) krát 3, nebo spíš 3 krát (k minus 1), což je totéž. 3 krát (k minus 1). Můžete se přesvědčit, že to funguje. Je-li 'k' rovno 1, dostáváme 1 minus 1, což je 0, takže 'a' s indexem 1 bude 1. Je-li 'k' rovno 2, budeme tu mít 1 plus 3, což je 4. Je-li 'k' rovno 3, máme 3 krát 2 plus 1, což je 7, takže to funguje. Je to jeden způsob, jak naši posloupnost definovat explicitně funkčním předpisem. Chci zdůraznit, že jsem tady v zásadě definoval funkci. Kdybych chtěl použít tradiční funkční zápis, mohl jsem napsat 'a' jako funkce 'k' je rovno 1 plus 3 krát (k minus 1). V zásadě to je funkce, jejíž definiční obor je omezen na kladná celá čísla. Jak bych měl zapsat tady toto? Mohl bych říci, že je to rovno… Lidé často používají 'a', ale mohl bych to označit 'b' s indexem 'k' nebo jakkoli jinak, ale použiji znovu 'a'. 'a' s indexem 'k', tady začínáme prvním členem, takže tohle je 'a' s indexem 1, toto 'a' s indexem 2 a tak dále do nekonečna. Nebo, to můžeme definovat explicitně jako funkci. Posloupnost bychom mohli zapsat jako 'a' s indexem 'k', kde 'k' jde od 1 u prvního členu a jde do nekonečna. 'a' s indexem 'k' je rovno… Začínáme na 3 a přičítáme 4, pro druhý člen jsme přidali 4 jednou, pro třetí člen jsme přidali 4 dvakrát, pro čtvrtý člen jsme přidali 4 třikrát. Takže přidáváme 4 krát o 1 méně než je člen, u kterého jsme. Bude to tedy plus 4 krát (k minus 1). je to jiný způsob, jak definovat nekonečnou posloupnost. V obou případech jsem posloupnost definoval jako explicitní funkci. Tohle je explicitně definovaná funkce. To není hezká barva, napíšu to… Je to explicitní funkce. Můžete se ptát: „Jaký je další způsob definování funkcí?“ Můžeme je také definovat, zvláště pokud jsou jako tato, tedy jako aritmetická posloupnost, můžeme je definovat rekursivně. Chci zdůraznit, že ne každou posloupnost lze definovat explicitně i rekursivně. Mnohé však ano. Třeba tato, to je aritmetická posloupnost, kde přičítáme znovu tu stejnou hodnotu. Jak bychom to udělali? Naši první posloupnost můžeme definovat ještě jinak. Můžeme říct: členy 'a' s indexem 'k', kde ‚k‘ nabývá hodnot od 1 do 4. Definujeme-li něco rekurzivně, definujeme první člen 'a' s indexem 1, 'a' s indexem 1 se rovná 1, a všechny další členy definujeme pomocí předcházejícího členu. Můžeme psát 'a' s indexem 'k plus…' Nebo to napíšeme takto: ‚a‘ s indexem ‚k‘ je rovno předchozímu členu… To je 'a' s indexem 'k minus 1'. Daný člen je roven předchozímu členu… Aby to bylo jasné, toto je předchozí člen, předchozí člen plus… Zde pokaždé přičítáme 3. Jak to může dávat smysl? Definujeme, co je 'a' s indexem 1. Někdo se zeptá: „Co se stane, když je 'k' rovno 2?“ Pak to je 'a' s indexem '2 minus 1'. Tak to bude 'a' s indexem '1' plus 3. Víme, že 'a' s indexem '1' je 1 a tak to bude 1 plus 3, což dává 4. Co 'a' s indexem 3? To bude 'a' s indexem '2' plus 3. 'a' s indexem 2 je 4, když přidáme 3, dostáváme 7. To je vlastně to, co jsem dělal, když jsem tu posloupnost psal poprvé. Když jsem řekl, že začnu od 1 a pro každý následující člen přičtu 3. Jak bychom napsali tohle? Znovu, mohli bychom to napsat jako 'a' s indexem 'k', kde 'k' jde od 1 do nekonečna. První člen, 'a' s indexem 1, teď bude 3. A každý následující člen 'a' s indexem 'k', bude předchozí člen, 'a' s indexem 'k minus 1', plus 4. Znovu, začínáme od 3 a chceme-li zapsat druhý člen, napíšeme první člen plus 4, bude to tedy 3 plus 4, což je 7. A stále přičítáme 4… Tak tu znovu máme rekursivní definici. Začali jsme od základního členu a každý další člen jsme definovali pomocí předchozích členů nebo samotnou funkcí, ale funkcí pro nějaký jiný člen.
video