Posloupnosti
Přihlásit se
Posloupnosti (2/13) · 9:07

Příklady na rekurentní zadání posloupnosti Na třech příkladech si procvičíme, jak dopočítávat jednotlivé členy posloupnosti, která je zadaná rekurentně.

Máme tady funkci g a chci, abyste si zastavili video a zkusili vypočítat, kolik je g pro 1, g pro 2, g pro 3, g pro 4. Vyřešte tyto čtyři případy. Tak, teď si to vyřešíme společně. g pro 1, když n je rovno 1. Tak to je případ tady nahoře. Když je n rovno 1, g je rovno 4. Tak to bylo rychlé a jasné. Teď g pro 2. Když je n rovno 2, 2 je větší než 1 a je to celé číslo, takže použíjeme tuto možnost. A to je zajímavé, protože je to definováno jako funkce, ale proměnná není 'g' nebo 'n', ale 'g pro (n minus 1)'. Takže když n je 2, protože počítáme funkci g pro hodnotu 2, bude to g pro (2 minus 1) neboli (g pro 1) plus 3,2. Plus 3,2. Kolik to bude? No, víme, že g pro 1 se rovná 4. To jsme už vypočítali. Takže 4 plus 3,2, to je 7,2. Dobrá, pokračujme. G pro 3, zase to bude tento případ, protože 3 je větší než 1 a je to celé číslo. Takže to bude g pro (3 minus 1), neboli (g pro 2) plus 3,2. Plus 3,2. Už víme, kolik je g pro 2. Je to 7,2. Už jsme to vypočítali. Je to 7,2. 7,2 plus 3,2 je rovno 10,4. A potom g pro 4, zase tento případ. Bude to (g pro 3) plus 3,2. Hodnota (g pro 3) plus 3,2. Kolik to bude? g pro 3 jsme právě spočítali, je to 10,4. 10,4 plus 3,2 se rovná 13,6. Co tu tedy máme. To je docela zajímavé. Zamysleme se nad funkcí g. Vidíme, že je definovaná pro všechna kladná celá čísla. A právě proto o ní můžeme uvažovat tak, že definuje posloupnost, tady vidíme, jaká ta posloupnost je. První člen je 4, druhý člen je 7,2, další je 10,4, další člen je 13,6 a tak to bude pokračovat dál a dál. A co se v této posloupností děje? Začali jsme se 4. Začínáme s číslem 4. a tento případ funkce nám říká, když n se rovná 4, když n se rovná 1. hodnota funkce se bude rovnat 4 a potom pro každý další následující člen vezmete předchozí člen a přičtete 3,2. Takže přičteme 3,2 pro druhý člen, přičteme 3,2, pořád budeme přičítat 3,2 budeme pořád přičítat 3,2. Ne 32, 3,2 abychom dostali další člen. Můžeme to definovat takto, nebo můžeme říct, "Mějme posloupnost s prvním členem 4 a pak budeme přičítat 3,2, abychom dostali další členy." Tohle je další zajímavá možnost, jak to definovat. A tato možnost definice, kdy jsme to definovali jako algebraickou funkci, funkci, která je definovaná pro kladná celá čísla, a kde máme počáteční tvrzení. A toto tvrzení nám tady udalo počáteční člen posloupnosti. Pak tu máme ten druhý případ definovaný pomocí funkce. Potom se musíme vrátit zpátky, abyste se se dostali k počátečnímu tvrzení. Tomu se říká rekurzivní funkce. Rekurzivní funkce. Na tomto příkladu vidíme, jak můžeme použít rekurzivní funkci pro definici nějaké posloupnosti. Teď jsme šli popořadě, ale mohli bychom jít i pozpátku. Když řeknu: "Jaká je hodnota g pro… Kolik je g pro 6?" Podíváte se sem a řeknete "Bude to g pro 5 plus 3,2." Bude to předchozí člen plus 3,2, pokud to považujeme za posloupnost. Potom musíme vypočítat, kolik je předchozí člen. g pro 5 bude g pro 4… g pro 4 plus 3,2 A šli byste dál a dál zpátky. My už ale víme, kolik je g pro 4. Je to 13,6. Takže tohle je 16,8, a pokud je g pro 5 16,8. 16,8, přičtete 3,2 a dostanete 20. Můžete začít na g pro 6 a jít zpátky, dokud se nedostanete ke g pro 1 a nezjistíte jeho hodnotu. Jdete zpět až k počátečnímu tvrzení. Potom jste schopni zaplnit všechna prázdná místa. Uděláme ještě pár dalších příkladů. Máme zde tuto funkci. Řekněme, že definuje posloupnost. Zkusme vypočítat první čtyři členy té posloupnosti a opět si zkuste zastavit video a spočítat to sami. Tak se na to podívejme. Hodnota h pro 1 je, no, tady to máme jasně zadané, je to 14. Když se n rovná 1, h je 14. h pro 2. Teď spadáme do této možnosti. protože 2 je větší 1 a je to celé číslo. Bude to 28/(h pro 1), lomeno h pro 1. Víme, že h pro 1 je 14, takže to bude 28/14, což se rovná 2. Teď h pro 3. h pro 3, zase to bude tento případ. Bude to 28, 28 děleno (h pro 2). Pokud je to posloupnost, děleno předchozím členem posloupnosti. Takže 28 děleno h pro 2. víme, že h pro 2 je rovno… Je rovno 2. To jsme teď spočítali. Jdeme zpět k 14, je to zajímavé. Mysím, že už vidíte kam to směřuje. h pro 4 je 28 děleno h pro 3. 28 děleno h pro 3, což je 28 děleno… h pro 3 je tady, to jsme teď spočítali. Děleno 14, což je zase 2. Pokud to budeme považovat za posloupnost, řekli bychom: "Dobrá, první člen je 14, potom máme 2, potom jdeme na 14, pak zase máme 2. Takže o této posloupnosti můžeme říct, že se střídají čísla 14 a 2. Všechny liché členy posloupnost jsou 14, všechny sudé členy posloupnosti jsou 2. To je jeden ze způsobů, jak o tom přemýšlet. Další možností je, začneme se 14 a každý následující člen je 28 děleno předchozím členem. Tady je 28 děleno 14 se rovná 2. 28 děleno 2 je 14, 28 děleno 14 je 2. A pokračujeme dál a dál. A to je to samé, co se děje tady. Ještě jeden takový příklad. A tento je zajímavý, protože teď máme, teď máme dvě počáteční tvrzení. Tak se na to podívejme. Tohle je, řekněme že jen chci přijít na to, chceme přijít na to, kolik je hodnota f pro 4. f pro 4, to bude tento případ. 4 je větší než 2 a je to celé číslo. Bude to f pro (4 minus 2). Bude to (f pro 2) plus f pro (4 minus 1), plus f pro 3. Takže f pro 4 bude součet předchozích dvou čísel. Tak nejdřív spočítejme, kolik bude f pro 3. f pro 3, to bude tento případ, bude to f pro (3 minus 2), to je f pro 1, plus f pro (3 minus 1), plus f pro 2. Součet předchozích dvou čísel. Vypočítejme kolik bude f pro 2. Teď už nesčítáme dvě předcházející čísla. Nyní spadáme do tohoto počátečního tvrzení. N se rovná 2. f se bude rovnat −4. A musíme spočítat i f pro 1. A vidíme, že když n se rovná 1, f se rovná −6. Máme tady dvě počáteční tvrzení. Počáteční tvrzení. Ta nejsou definována pomocí funkce. A to potřebujete, jinak byste se rekurzivně opakovali donekonečna. Nikdy byste nevypočetli vlastní čísla. Ale teď můžeme využít tato tvrzení a doplnit hodnoty zde. Takže ta posloupnost bude −6, potom bude −4 jako druhý člen, a třetí člen je součet předchozích dvou. −6 plus −4 je −10. −6 plus −4 je −10. A čtvrtý člen je součet předchozích dvou. Tady to vidíme. Druhý člen, f pro 2 plus f pro 3. −4 plus −10 je −14. A takto bychom mohli pokračovat dál. Takže tohle tady je −14. Účel tohoto videa byl, abyste se trochu seznámili s rekuzivními funkcemi a také abyste viděli, jak je můžeme použít pro definici posloupností.
video