Posloupnosti a řady
Přihlásit se
Posloupnosti a řady (4/9) · 6:39

Úvod do geometrických posloupností Jak poznáme geometrickou posloupnost od ostatních druhů posloupností? To si povíme v tomto videu.

Navazuje na Posloupnosti.
Dnes si povíme o geometrických posloupnostech, což je skupina posloupností, u kterých začínáme nějakým číslem a každé následující číslo je násobkem toho předchozího. O čem že to mluvím? Vynásobíme „a” krát „r”. Potom nám vyjde „ar” To vynásobíme, aby nám vyšel třetí člen, vynásobíme tento druhý krát „r”. A co nám vychází teď? Vychází... To je jiný odstín žluté... Vychází „a” krát „r” na druhou. Vynásobíme-li krát „r” znova, dostaneme „a” krát „r” na třetí a tak se pokračuje dál a dál. A tohle, to co jsem zde označil, toto je nekonečná geometrická posloupnost. Prostě pokračuje dál a dál a dál. Jiný způsob jak ji zapsat je explicitně. Můžeme říci, že naše posloupnost je „a” s indexem „n”, počínaje prvním výrazem a pokračující do nekonečna, kde „n” se rovná... Zde vidíme, že pro každý výraz bude násobeno krát „r”. Aby bylo jasno, toto „a” zde je totéž jako „a” krát „r” umocněno na 0, což je 1. Druhý výraz je „a” krát „r” na prvou. Třetí výraz je „a” krát „r” na druhou. To vypadá, že n-tý výraz bude roven „a” krát „r” umocněno na (n minus 1). Takže „a” krát „r” na (n minus 1). Můžete si to ověřit. Když chceme druhý člen, máme „a” krát „r” na (2 minus 1). „a” krát „r” na prvou. Funguje to. Toto je explicitní vyjádření. Též bychom mohli definovat rekurzivně. Mohli bychom říci, že „a” s indexem „n” od 1 do nekonečna, kde „a” s indexem 1 se rovná „a”. Toto je základní scénář. „a” s indexem 1 se rovná „a”, „a” krát „r” na 0 je „a”. Nebo se dá říci pro „n” rovno 1, a potom... A to vlastně vůbec nemusím psát, bude nám to hned jasné, že „a” s indexem 1 se rovná „a” a dále „a” s indexem „n” se rovná předešlému členu, „a” s indexem (n minus 1) krát „r”, pro „n” větší nebo rovno 2. Tohle nám říká, že náš první člen bude „a”, tohle je „a”, „a” krát „r” na 0, což je „a”, každý následující člen bude roven předchozímu vynásobenému „r”, což je přesně totéž, jako jsme udělali zde. Pojďme se tedy podívat na nějaké geometrické posloupnosti. Třeba můžeme mít posloupnost jako je tato. Máme „a” s indexem „n” od 1 do nekonečna, kde první člen, tedy „a” s indexem „n” se rovná, řekněme, náš první člen je, nevím, třeba roven 20. A potom „r”, číslo, kterým budeme násobit každý následující člen. To bude řekněme 1 lomeno 2. (1 lomeno 2) na (n minus 1). Jak bude takováto posloupnost vypadat? Zamysleme se nad tím. První člen je 20. Pokud „n” je 1, tak toto bude (1 lomeno 2) umocněno na 0. Tedy to bude 1 krát 20. Takže první člen bude 20, a každý následující bude násoben čím? Tentokrát pokaždé násobíme (1 lomeno 2). Tohle bude 20 krát (1 lomeno 2) je 10, 10 krát (1 lomeno 2) je 5, 5 krát (1 lomeno 2) je 2,5... Vlastně to raději napíšu jako zlomek, (5 lomeno 2), to zase krát (1 lomeno 2) je (5 lomeno 4) a takhle můžete pokračovat dál a dál. Tohle je geometrická posloupnost. Teď vám ukážu jinou posloupnost, a povězte mi, zda je geometrická. Řekněme že začínáme s 1, potom budeme mít 2, potom následuje 6 a potom bude... Uvidíte k čemu se chystám dojít... Následovat bude 24. A potom by bylo 120 a tak dál a dál. Je toto geometrická posloupnost? Podívejme se, o co tady jde. Z 1 na číslo 2 jsem násobil krát 2. Z 2 na 6 jsem násobil krát 3. Ze 6 na 24 jsem násobil krát 4. Tedy násobím pokaždé jiným číslem. Musíte násobit pokaždé stejným číslem, aby to byla geometrická posloupnost. Ale tady násobím různými čísly. Tedy posloupnost kterou jsem právě vytvořil má tvar, kde máme první člen tady, a dále druhý člen, který bude 2 krát první člen, a dále třetí člen, který bude 3 krát náš druhý člen, proto 3 krát 2 krát „a”. Čtvrtý je 4 krát třetí, tedy 4 krát 3 krát 2 krát „a”. A takhle pokračujeme. Tuto posloupnost, ač není geometrická, pořád můžeme vyjádřit explicitně. Můžeme říci, že její zápis je „a” s indexem „n” pro „n” od 1 do nekonečna, kde se „a” s indexem „n” rovná, podívejme se na čtvrtou část, 4 faktoriál krát „a”. Vlastně když se podíváme konkrétně sem, tak číslo před „a” je 1. Takže toto je, napíšu si, 1, tohle je 2 krát 1, toto 3 krát 2 krát 1, toto 4 krát 3 krát 2 krát 1. Takže „a” s indexem „n” se rovná „n” faktoriál. Tento zápis, který není geometrická posloupnost, popisuje přesně co máme zde. Jen abychom se procvičili v... Tady jsme to nadefinovali explicitně, můžeme ale také rekurzivně. Také se dá říci - to napíšu bílou - také se dá říci, že „a” s indexem „n” nabývá hodnot od 1 do nekonečna, kde „a” s indexem 1 se rovná 1. To je náš první výraz. A každý následující výraz se rovná předcházejícímu krát „n”. Takže druhý výraz je roven předchozímu krát 2. A n-tý výraz bude předcházející výraz krát „n”. Tohle je další způsob jak posloupnost zapsat.
video